복소수로 증명하는 코사인 법칙 - 직각이 아닐 때의 피타고라스 정리

삼각형 ABC를 그리고 A를 중심으로 단위원을 그리고 단위점을 AB 선분 위에 둔다.

AB를 밑변으로 하는 삼각형을 볼 때 세 꼭지점의 복소표현은 다음과 같다.

A점 : 0

B점 : c ( AB 선분의 길이, 각C의 대변 ) 

C점 : b*e^iα ( 각B의 대변길이가 각A 만큼 회전 )

C점을 기준으로 바라본 B의 복소표현은 a*e^-β 이다. 

  ( 각A의 대변길이가 각B 만큼 음의 방향으로 회전 )

그러므로 b*e^iα+a*e^-β 복소수의 절대값 제곱은 c의 제곱과 같다.

복소수의 절대값 제곱은 켤레를 곱하여 구할 수 있다.

등식을 쓰면

c^2 = (b*e^iα+a*e^-β) * (b*e^i-α+a*e^β)

      = b^2 + ab*e^i(α+β)+ab*e^-i(α+β)+a^2

      = a^2+b^2+ab*( e^i(π-γ) + e^-i(π-γ) )  : 삼각형 내각합 α+β+γ = π 이용

세번째 항을 정리하면 e^iπ*(e^iγ + e^-iγ) 로 -2*cosγ 가 된다. (오일러 공식 이용)

그러므로 c^2 = a^2 + b^2 -2ab*cosγ

이 식은 피타고라스 정리와 유사한데, γ가 직각이면 ab 항이 사라지기 때문이다. 

( cos(π/2) =0 이용)

* A에서 B로 가는데 직선 길이 c 라고 하고 어떤 점 C 를 찍고 가는 거리를 b, a 라고 할 수 있다. 이때 각 α, β, γ 가 정해지고,  c = b*e^iα+a*e^-β 항등식이 성립된다.

여기서 삼각형 내각의 합이 π로 일정함을 이용해서 코사인법칙이 유도 가능하다.

또한 위 항등식에서 허수항이 0이 되는 조건이 바로 사인법칙이다.

b*sinα=a*sinβ

**사인법칙과 코사인 법칙을 일반해서 정리하면 

한점에서 다른점으로 바로 가는 것과 다른 점을 들러가는 것을 비교할 수 있다.

코사인법칙은 평행 성분의 합이 직선 길이인 특성의 표현이고

사인법칙은 수직 성분이 상쇄되는 특성의 표현이다.

복소평면에서 복소표현을 사용하면 c = b*e^iα+a*e^-β 이므로

우변의 실수항이 c ( 코사인법칙 ), 허수항이 0 ( 사인법칙 ) 이 자명하다.

코사인법칙을 삼각법에 나오는 꼴로 쓰려면 켤레곱을 이용하여 정리하고

싸인법칙을 확장하려면 외접원을 그려서 중심각과 원호각의 관계를 파악한다.

라디안 각도

각이 있다. 라디안으로 각도를 표현하고 싶다. 각도를 구하는 방법은?

1) 기하적인 정의

  두 선분이 한 점에서 만나 측정할 각이 있다. 이 점을 중심으로 원을 그린다.

  원주와 두 선분이 만나는 점 두 개를 발견한다. 

  둘 사이의 원주길이를 측정한다. 그리고 반지름으로 나누면 이것이 얻고자 하는 각도이다.

2) 좌표계를 그려서 대수적으로 계산할 수도 있다.

- 두 선분이 만난 점을 원점으로 하는 직교좌표계를 그린다.

- 단위원을 그린다.

- 선분과 단위원이 만나는 점을 복소지수함수로 표현한다. e^iα, e^iβ

- 두 선분 사이의 각은 둘 복소수의 나누기한 복소수에 해당하는 각이다. ==> α-β

     ( 둘 사이의 거리는 각각의 위치의 차, 단 위치를 원주 길이로 주었다. )

3) 직관하기.

- 마음속에 원형자(각도계)를 가지고 있다.

- 원주에는 기준점에서부터의 원주길이를 적어 놓았다. (반지름이 1인 원, 반바퀴는 π)

- 이 상상의 각도계 중심을 측정할 각의 교점에 놓는다.

- 기준선을 한 선분에 일치시키고 다른 선분이 가리키는 눈금을 읽는다.

각 방법의 장단점을 보자.

정의는 꼼꼼하다. 하지만 반지름과 원주길이를 측정해야 하고 그것을 나누어야 한다. 일반적으로 나누기가 나오는 것은 직관적이지 않다.

대수는 점을 좌표로 표현하는 과정이 있어야 한다. 사실 이게 라디안 구하는 것과 다름아니다.

하지만 좌표를 구하면 그 다음은 단순 사칙연산으로 바뀌니까 그 다음부터는 자동화가 가능하다.

직관하기는 사실 좌표계를 돌리고 늘리는 작업을 마음 속에서 하는 것이다. 그리고 이 직관을 발휘하려면 라디안 정의와 좌표계 개념이 추상화 되어 있어야 한다. 일단 추상화 되어 있으면 이를 이용해 답이 직접 보이는 경지가 된다. 아이가 자로 선의 길이를 재듯 마음 속의 추상개념으로 문제의 답이 바로 보이게 되는 것이다.

연습문제를 푸는 것은 이렇게 배운 수학개념이라는 직관도구를 익숙하게 쓸 수 있게 해준다.

쓰면 쓸수록 손에 익는 도구의 비유가 적절하겠다.

시험을 보는 것은 이 직관도구를 얼마나 능숙하게 쓰는 가를 평가하기 위해서다.

혹은 잘못 사용하는 것을 알아내서 고쳐 주기 위해서이다.

물론 분류를 하기위한 수단으로의 시험도 있지만.