복소수로 증명하는 코사인 법칙 - 직각이 아닐 때의 피타고라스 정리

삼각형 ABC를 그리고 A를 중심으로 단위원을 그리고 단위점을 AB 선분 위에 둔다.

AB를 밑변으로 하는 삼각형을 볼 때 세 꼭지점의 복소표현은 다음과 같다.

A점 : 0

B점 : c ( AB 선분의 길이, 각C의 대변 ) 

C점 : b*e^iα ( 각B의 대변길이가 각A 만큼 회전 )

C점을 기준으로 바라본 B의 복소표현은 a*e^-β 이다. 

  ( 각A의 대변길이가 각B 만큼 음의 방향으로 회전 )

그러므로 b*e^iα+a*e^-β 복소수의 절대값 제곱은 c의 제곱과 같다.

복소수의 절대값 제곱은 켤레를 곱하여 구할 수 있다.

등식을 쓰면

c^2 = (b*e^iα+a*e^-β) * (b*e^i-α+a*e^β)

      = b^2 + ab*e^i(α+β)+ab*e^-i(α+β)+a^2

      = a^2+b^2+ab*( e^i(π-γ) + e^-i(π-γ) )  : 삼각형 내각합 α+β+γ = π 이용

세번째 항을 정리하면 e^iπ*(e^iγ + e^-iγ) 로 -2*cosγ 가 된다. (오일러 공식 이용)

그러므로 c^2 = a^2 + b^2 -2ab*cosγ

이 식은 피타고라스 정리와 유사한데, γ가 직각이면 ab 항이 사라지기 때문이다. 

( cos(π/2) =0 이용)

* A에서 B로 가는데 직선 길이 c 라고 하고 어떤 점 C 를 찍고 가는 거리를 b, a 라고 할 수 있다. 이때 각 α, β, γ 가 정해지고,  c = b*e^iα+a*e^-β 항등식이 성립된다.

여기서 삼각형 내각의 합이 π로 일정함을 이용해서 코사인법칙이 유도 가능하다.

또한 위 항등식에서 허수항이 0이 되는 조건이 바로 사인법칙이다.

b*sinα=a*sinβ

**사인법칙과 코사인 법칙을 일반해서 정리하면 

한점에서 다른점으로 바로 가는 것과 다른 점을 들러가는 것을 비교할 수 있다.

코사인법칙은 평행 성분의 합이 직선 길이인 특성의 표현이고

사인법칙은 수직 성분이 상쇄되는 특성의 표현이다.

복소평면에서 복소표현을 사용하면 c = b*e^iα+a*e^-β 이므로

우변의 실수항이 c ( 코사인법칙 ), 허수항이 0 ( 사인법칙 ) 이 자명하다.

코사인법칙을 삼각법에 나오는 꼴로 쓰려면 켤레곱을 이용하여 정리하고

싸인법칙을 확장하려면 외접원을 그려서 중심각과 원호각의 관계를 파악한다.

라디안 각도

각이 있다. 라디안으로 각도를 표현하고 싶다. 각도를 구하는 방법은?

1) 기하적인 정의

  두 선분이 한 점에서 만나 측정할 각이 있다. 이 점을 중심으로 원을 그린다.

  원주와 두 선분이 만나는 점 두 개를 발견한다. 

  둘 사이의 원주길이를 측정한다. 그리고 반지름으로 나누면 이것이 얻고자 하는 각도이다.

2) 좌표계를 그려서 대수적으로 계산할 수도 있다.

- 두 선분이 만난 점을 원점으로 하는 직교좌표계를 그린다.

- 단위원을 그린다.

- 선분과 단위원이 만나는 점을 복소지수함수로 표현한다. e^iα, e^iβ

- 두 선분 사이의 각은 둘 복소수의 나누기한 복소수에 해당하는 각이다. ==> α-β

     ( 둘 사이의 거리는 각각의 위치의 차, 단 위치를 원주 길이로 주었다. )

3) 직관하기.

- 마음속에 원형자(각도계)를 가지고 있다.

- 원주에는 기준점에서부터의 원주길이를 적어 놓았다. (반지름이 1인 원, 반바퀴는 π)

- 이 상상의 각도계 중심을 측정할 각의 교점에 놓는다.

- 기준선을 한 선분에 일치시키고 다른 선분이 가리키는 눈금을 읽는다.

각 방법의 장단점을 보자.

정의는 꼼꼼하다. 하지만 반지름과 원주길이를 측정해야 하고 그것을 나누어야 한다. 일반적으로 나누기가 나오는 것은 직관적이지 않다.

대수는 점을 좌표로 표현하는 과정이 있어야 한다. 사실 이게 라디안 구하는 것과 다름아니다.

하지만 좌표를 구하면 그 다음은 단순 사칙연산으로 바뀌니까 그 다음부터는 자동화가 가능하다.

직관하기는 사실 좌표계를 돌리고 늘리는 작업을 마음 속에서 하는 것이다. 그리고 이 직관을 발휘하려면 라디안 정의와 좌표계 개념이 추상화 되어 있어야 한다. 일단 추상화 되어 있으면 이를 이용해 답이 직접 보이는 경지가 된다. 아이가 자로 선의 길이를 재듯 마음 속의 추상개념으로 문제의 답이 바로 보이게 되는 것이다.

연습문제를 푸는 것은 이렇게 배운 수학개념이라는 직관도구를 익숙하게 쓸 수 있게 해준다.

쓰면 쓸수록 손에 익는 도구의 비유가 적절하겠다.

시험을 보는 것은 이 직관도구를 얼마나 능숙하게 쓰는 가를 평가하기 위해서다.

혹은 잘못 사용하는 것을 알아내서 고쳐 주기 위해서이다.

물론 분류를 하기위한 수단으로의 시험도 있지만.

보다 적절한 좌표계로 사인법칙 증명하기

지난 글에서 사인법칙의 증명에 다음 특성을 이용하였다.

 삼각형의 각은 외접원 원호각의 절반

증명하기 위해서 꼭지점을 1에 잡아서 대수정리를 하였다.

하지만 다시 생각해 보니 -1에 두면 더 직관적일 수 있다. 대수식이 더 단순해 지는 것이다.

증명해 보자.

질문) 삼각형 abc가 있고 이의 외접원이 있다. 각c가 원호 ab 각의 절반임을 보여라.

풀이) 

 1. 복소평면에서 외접원의 중심과 점c가 0, -1 에 위치하도록 좌표계를 잡는다.

 2. a는 e^iα, b는 e^-iβ 로 표현할 수 있다. ( ab원호각은 α+β )

 3. 선분 ac = 1+e^iα,  선분 bc = 1+e^-iβ 로 표현된다. (벡터 덧셈)

 4. 각c는 선분ac와 선분bc가 이루는 각이므로 두 복소수의 나누기 복소수의 각도이다. 

 5. 나누기 = (1+e^iα)/(1+e^-iβ)

 6. 분자의 각 α/2, 분모의 각 -β/2, 그러므로 나누기의 각 α/2+β/2

 7. 그런데 (α+β)가 원호각이다. 

 8. 그러므로 각c는 이 각이 마주보는 외접원 원호의 원호각 절반이 된다. 

     혹은 점c를 중심으로 단위원을 그리면 이 원호길이는 원호bc 길이의 절반이 된다.

활용) 삼각형 세 꼭지점 중 어느 것을 c로 생각하든 위의 각과 원호각의 관계가 만족된다.

    1. 세 각의 합은 π 이다. ( 세 원호각의 합은 2π )

    2. 선분bc가 지름이 되면 원호각이 π 이므로 각c는 π/2 즉 직각이 된다. (지름 직각삼각형)

    2. 각의 sine 값과 대변의 비율이 일정하다. 

               ( 점을 이동하여 지름이 빗변이 되게하면 sin(각) = 대변길이/외접원지름 

                 혹은 대변길이/sin(각) = 외접원지름 )

위와 같이 외접원 특성이 정리된다.

* 위의 6. 과정에서 부연설명이 필요하다.

1) 1+e^ix = e^ix/2 * ( e^-ix/2 + e^ix/2 ) 로 바꿀 수 있다. 

   괄호안의 켤레의 합은 실수다. 

   그러므로 이 복소수의 각은 x/2 이다. 

   기하학적으로 보면 마름모의 대각선은 꼭지각을 반으로 나눈다는 것과 같은 의미다.

 2) 두 복소수의 곱은 단위원에서 해당 원주길이의 합이고 

    두 복소수의 나누기는 단위원에서 분자원주길이 빼기 분모원주길이 이다.

      ( + 원주길이는 반시계방향 측정이고 - 원주길이는 시계방향 측정이다. )

삼각형의 외심을 찾아서 삼각형의 사인 법칙을 연역해 보기

세점이 있으면 원을 하나 특정할 수 있다.
이 원의 중심을 세점이 이루는 삼각형의 외심이라고 부른다.

일단 외심을 찾는 방법은 다음과 같다.

원의 중심에서 세점까지의 거리가 같는 단서를 이용하면 된다.
중심과 세점을 잇는 직선 세개를 그려보면 이등변 삼각형 3개를 찾을 수 있다.
각각의 이등변 삼각형으로부터 각변의 중심선이 원점에서 만남을 알 수 있다.

즉 세 점이 있어 세 연결된 선을 그리고 각선의 중심선을 그으면 한 점에서 만난다.

그 점에서 원을 그려보면 세점이 하나의 원 위에 있게 된다. (거리가 같다.)

짧게 써보자.

- 점 세개가 있다.
- 원 하나가 나온다.
- 원의 중심이 있다.
- 원의 중심에서 각 점을 잇는 선 3개를 그릴 수 있다.
- 선 3개는 3개의 이등변 삼각형의 중심선(대칭선)이다.

기하학적으로는 위와 같다.

이제 복소지수함수 e^iθ를 이용해서 상황을 보자.
복소평면에서 단위원의 원주상 세 점 ( a, b, c )가 있다. 

각각의 단위점에서의 원주 좌표는 θ1, θ2, θ3 이다.

복소수로 표현하면 e^iθ1, e^iθ2, e^iθ3 이다.

좌표를 회전하여 단위점 1이 a가 되게 할 수 있다.

이제 세 복소수는 (1, e^iα, e^iβ ) 이 되었다. ( α = θ2 - θ1 , β = θ3 - θ1 )

알고 싶은 것은 삼각형의 세각이 어떤 관계를 가지는 가 하는 것이다.

대수적으로 위 세 복소수를 이용하여 각각의 각의 표현을 알아보는 것이 목적이다.

ab 선분은 ( e^iα-1 ) 로 표현되고 ac 선분은 (e^iβ-1) 로 표현된다.

둘 사이의 각은 복소수 나누기가 된다. 

          (e^iα-1)/(e^iβ-1)

분자에 있는 첫번째 괄호를 살펴보자. 

이 복소수는 e^iα/2*(e^iα/2-e^-iα/2) 꼴이 되어  (π/2+α/2) 의 각을 가진다. 

포인트는 켤레복소수의 꼴로 만들어 순허수 i에 해당하는 π/2를 더하는 것이다.

두번째 괄호를 살펴보자. 앞과 마찬가지로 켤레복소수 차의 형태로 만들어 보자.

분모 위치의 복소수는 e^iβ/2*(e^iβ/2-e^-iβ/2) 꼴이 되어 (π/2+β/2) 의 각을 가진다.

우리가 구하고자 하는 복소수는 둘을 나누는 것이므로 두 각의 차 (α-β)/2 에 해당한다.

여기서 뺄 때 π/2 가 상쇄되었다.

회전하기 전의 좌표계로 돌아가기 위해서 α, β 를 θ 로 다시 표현하면 θ1 이 상쇄되고 (θ2 - θ3)/2 만 남는다. 

즉 ab 선분과 ac 선분이 만드는 각a은 ob 선분과 oc 선분이 만드는 각의 절반이다. 

a 의 위치(θ1)에 상관없이 말이다.

이제 각a의 sin 값을 구할 수 있다. a점을 ac 가 o를 통과하도록 이동하여 a' 이라고 하자. 

a'c가 원의 중심을 지나므로 삼각형 a'bc는 직각삼각형이 된다.

 

그러므로 지름을 빗변으로 가지는 직각삼각형에서 

   sin (각a) = sin (각a') =  bc 선분의 길이 / 원의 지름

각b, 각c에서도 마찬가지로 생각할 수 있다.

그러므로 사인법칙이 증명되었다. 

사인법칙

   세 개의 비율 [각변의 길이 / sin ( 그 변이 마주보는 각) ] 은 동일하다.

   그것은 외심을 찾아 그린 원의 지름이다.

* 사인법칙 대수적 증명 3줄 정리

1. 외접원을 그리면 두 점(bc)이 이루는 각 2개 (각boc, 각bac)는 2배의 관계가 있다. 

    (대수적으로 증명함)

2. 다른 한 점(a)을 움직여 지름을 포함하는 직각삼각형으로 만들어 sine 값을 구한다. 

     (a'bc에서 높이/빗변)

3. 세변에 대해 같은 방식으로 sine 값을 구해서 변형하면 사인법칙이 증명된다.

이등변 삼각형 문제, 두변이 같으면 두 빗각이 같음의 증명, 기하학적으로 혹은 대수적으로

기하학적으로 이등변 삼각형에 관련된 증명을 하는 것은 중학교에 많이 나온다.
바닥에 놓고 꼭지점을 반으로 가르는 수직선을 그리면 이등변 삼각형이 절반으로 나뉜다.
좌우 대칭인 두개가 나오니까 여러가지 증명을 할 수 있다.

오늘 해 볼 것은 두 각이 같은 크기를 가진다는 것이다. (이등변 삼각형의 등각 성질)
대칭이므로 등각이다.
기하학에서 자명하게 드러난다.

실제로 증명하려면 두변의 길이가 같고 사잇각이 같으면 같은 삼각형이라는 삼각형의 성질을 알고 있어야 한다.
꼭지점에서 내린 선과 이등변삼각형으로 주어진 조건에서 두변의 길이가 같다는 것이 나오고, 꼭지점에서 내린 선이 꼭지각을 반으로 나누었다는 것에서 사잇각이 같다는 것이 주어졌다. 그러므로 두 삼각형은 같은 삼각형이다. 그러므로 바닥의 두 각은 같다.

이제 이것을 복소평면에서 대수적으로 증명해 보자.
1. 복소평면에서 단위원을 그린다.
2. α각 (호도법 or 라디안)을 가진 점을 찍는다. e^iα ( 단위점에서 호의 좌표가 α 위치)
3. -α각을 가진 점을 찍는다. e^-iα (단위점에서 호의 좌표가 -α 위치)
4. -1, e^iα, e^-iα 세 점으로 이루어진 삼각형을 볼 수 있다.
5. 원점(단위원의 중심)에서 세 점을 각각 잇는 세 화살표를 그린다. 각각의 길이는 1이다.
6. 윗쪽 비스듬한 빗변의 길이는 (1+e^iα)의 길이이다.
7. 아랫쪽 비스듬한 빗변의 길이는 (1+e^-iα)의 길이이다.
8. 위 두 복소수는 서로 켤레 관계이다. 그러므로 두 길이는 같다. 즉 이 삼각형은 이등변 삼각형이다. (어떤 이등변 삼각형도 이 꼴로 만들 수 있다.)

여기서 직관을 발휘해 보자. 대수적으로 두 빗변의 형식은 같다. 단지 호도법 알파 각도를 반대로 돌렸을 뿐이다. 모든 성질은 같을 수 밖에 없다. 즉 빗변의 길이도 같고 두 각도도 같다. 그래도 대수적으로 증명해 보자.

각도를 표현해 보자.
1. 두 직선의 윗쪽 각은 수직 내려오는 복소수의 각 (-i) 빼기 -(1+e^iα) 이다. 이는 지수함수의 나누기로 표현되는 복소수의 각과 같다.
2. 이에 해당하는 복소수를 대수적으로 계산하면
 -i/-(1+e^iα) = i/(1+e^iα)

3. 아랫쪽 각은 두 복소수 ( -(1+e^-iα) , i ) 의 각이다.
   각을 구하기 위해 두 복소수를 나누어 보면
-(1+e^-iα) / i = i * (1+e^-iα )  ( 1/i = -i 이용 )

이제 두 각이 같음을 보여 보자.

1. 두 복소수를 나누어 보자. 혹은 하나의 역수를 곱해 보자. ( 계산을 간단히 하기 위해 3에 2의 역수를 곱하자)
i * (1+e^-iα ) * [ i/(1+e^iα) ]^(-1) = (1+e^-iα) * (1+e^iα)

2. 이 복소수를 살펴보자. 두 켤레의 곱의 형태로 나온다. 즉 양의 실수가 되었다. 혹은 이 켤레의 곱은 각도 0 을 나타낸다.

3. 두 복소수를 나누어 양의 실수가 나왔다는 것은 두 복소수가 복소평면에서 같은 각도를 이루고 있다는 것과 같다.

4. 그러므로 두 빗변이 이루는 두 각은 같은 각이다. ( 증명 끝 )

어떤가? 대수적으로 증명하는 것이 더 어렵게 느껴지는가?
우리가 기하적으로 직관하는 능력이 우수하기 때문이다.
대수를 많이 다룰수록 대수 직관력이 생길수 있다. 도전해 보고 싶지 않은가?

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추가 노트
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반복적으로 나오는 대수 성질을 직관할 수 있으면 도움이 된다.
1. 두 복소수가 켤레 관계이면 둘을 곱하면 실수가 된다.
2. 두 복소수가 켤레 관계이면 둘을 더하면 실수가 된다.
3. 두 복소수가 켤레 관계이면 둘의 차이 (삼각형)는 순허수가 된다.

혹은 θ 돌린 것과 -θ 돌린 것은 ( 켤레는 ) 실수선에 대해 대칭이다. (서로 길이가 같음)
- 곱하면 길이의 제곱이 되고, 더하면 실수만 남고, 빼면 허수만 남는다. (실수2배, 허수2배)

켤레복소수는 무엇인가? 극좌표계에서 변환은 어떻게 표현하는가? 대수적으로 풀어보는 삼각형 내각의 합

우리가 고등학교에서 복소수를 배울 때 켤레 복소수를 정의한다. 중요한 특징은 어떤 복소수의 켤레복소수를 구하고 둘을 곱하면 복소수의 크기의 제곱값(실수)가 나온다는 것이다. 이를 증명하는 방법은 i^2 = -1, 피타고라스의 정리를 이용한다.

수학적으로 적어보면 아래와 같다.
Z = a + i*b
켤레(Z) = a - i*b
Z * 켤레(Z) = (a+i*b)*(a-i*b)
               = a^2 + b^2                            여기서 넘어갈 때 i^2 이용
               = {절대값(Z)}^2                         여기서 넘어갈 때 피타고라스 정리 이용


다른 방법으로 이 특징을 살펴보자.

지수함수를 이용해 극좌표 형태로 복소수를 표현할 수 있다.
Z = r * e^(i*θ) : 단위점 ( 1 ) 을 θ 회전 시키고 크기 r을 곱한다.

다음 질문을 해보자.
어떤 복소수가 있을 때 좌표계를 어떻게 회전시키면 실수로 표현될까?

직선상에서 철수가 3 걸어간 것은 원점이 -3에 있는 것과 같다고 말했다.
철수가 걸어간 것이 아니라 원점이 -3 이동하고 좌표를 읽는 것과 같다.
원점이 -3에 있으니 원점으로 돌아가는 방법은 -3을 더하는 것이다.

복소수가 e^iθ 방향을 가리키고 있다는 것은 + 방향을 -θ로 보냈다는 의미이고 복소수를 실수로 만들기 위해서는 -θ 방향에에 해당하는  e^-iθ 를 곱해야 하는 것과 같다. 앞의 더하기 예와 유사성을 느낄 수 있는가?

앞에서는 원점에 대해서 더하는 문제였다. 복소수의 회전은 실수 단위점에서 원주 상에서 거리를 지수함수로 만들어 곱하는 문제가 된다.

혹은 θ 회전시켰으면 반대 방향으로 θ 회전 시키면 회전이 상쇄된다고 이해할 수 있다.
e^iθ * e^-iθ = 1

살펴보면 θ에 음의 부호를 붙이는 것이니까 오일러공식에서 허수부에 - 부호를 붙이는 것과 같다.

켤레복소수를 얻기 위해서 허수부에 - 부호를 붙인다 라고 외울 수 도 있고
실수부를 얻기 위해서 좌표를 회전시키기 위해서 e^-iθ 를 곱한다고 할 수도 있다.
그런데 이것을 곱하면 허수부에만 -를 붙이는 것과 결과가 같다.

켤레복소수는 극좌표계에서는 반대방향 θ 회전으로 정의하자.
그러면 복소수와 켤레의 두 곱은 회전 없이 크기의 제곱이 된다.
직교좌표계에서 해석하면 두 벡터는 실수부는 같고 허수부는 반대 부호가 된다.

복소수를 다룰 때 기하적인 성질이 복소 사칙연산으로 된다는 것이 포인트 이다.
방향을 바꾸는 것, 각도를 더하고 빼는 것이 길이가 1인 e^iθ 를 곱하고 나누는 것으로 표현된다는 것이 키이다.

90도 각을 돌리고 싶다면 e^i*pi/2 를 곱하자. 아 이것은 i 이므로 i를 곱하면 90도 회전이 된다.

두 성분의 사이 각도를 계산하고자 한다면 나누면 된다. 단 더 왼쪽에 있는 것을 상대적으로 오른쪽에 있는 것으로 나누자. ( 반대로 하면 음의 각도가 나온다. )

이를 이용해서 삼각형의 내각합을 구해보자. 벡터1, 벡터2, 벡터3 이 있고 삼각형을 이룬다.
벡터1과 벡터2 벡터3이 꼬리와 머리가 이어져서 원점에 돌아온다.

1. 벡터1과 벡터2 각도차를 표현하는 지수함수 : (1 방향을 표현하는 지수함수) / (2 방.지.)
2. 벡터2와 벡터3 각도차를 표현하는 지수함수 : (2 방.지.) / (3 방.지.)
3. 벡터3과 벡터1 각도차를 표현하는 지수함수 : (3 방.비.) / (1 방.지.)

세 각의 합을 표현하는 지수함수는 위 세가지 지수함수의 곱이다. : 서로 약분되고 -1 남음
그러므로 세각의 합은 180도, Pi 이다. ( 지수함수에 어떤 각을 넣으면 -1 이 될까? 오일러 항등식을 기억해 보자. )

삼각형 내각의 합을 복소지수함수의 나누기 곱하기로 표현하였더니 서로 상쇄되어 -1 ( pi 라디안 ) 이 된다.

당신은 기하가 편한가? 대수가 편한가? 편하다기 보다는 마음에 든다고 해야 할 지 모른다. 당신의 취향은 기하 or 대수 ? 나는 기하와 대수의 얽힘이 나를 매혹시킨다.

원주위의 한 점과 지름으로 만들어지는 삼각형은 직각삼각형인가?

서양 합리주의의 바탕에는 기하학과 대수학의 통합이 있다고 한다.

복소수 지수함수 ( e^i*θ )를 이용해 기하학 문제를 대수적으로 풀 수 있다.

(기하학 :  https://en.wikipedia.org/wiki/Geometry
 대수학 : https://en.wikipedia.org/wiki/Algebra )

오늘 생각해 볼 문제는 원에 내접하는 삼각형이다.
내접한다는 것은 삼각형의 세 꼭지점이 원주 위에 있다는 것이다.

원이 하나 있고 원주 위에 있는 세점을 정해서 직선으로 이으면 원에 내접하는 삼각형이 생긴다. 이 중에 특별히 한 변이 원의 지름인 삼각형을 따로 생각할 수 있다. 중학교에서 도형의 증명 때 나오는 쉬운 문제 중에 하나이다.

"한 변이 원의 지름인 원에 내접하는 삼각형은 직각삼각형이다."

기억이 나는 사람은 기하학적으로 증명해 보시길.

오늘은 대수적으로 증명해 보고자 한다. 복소평면에 원점에서 단위원을 그린다.
원주 상의 점 하나를 찍는다. 이 점의 위치는 e^i*θ 이다. 이전 오일러공식 글에서 정리했듯이 자연상수 e ( 2.71828 )를 밑(base)로 하는 지수함수의 복소 지수 꼴이다. ( 단위점에서 시작해서 수직인 방향으로 조금씩 방향을 바꾸면서 원주를 따라 원주길이 θ 만큼 떨어진 점. 당연히 θ는 라디언 이라고 불리우는 반바퀴가 π 인 각도 단위 )

우리가 관심있는 삼각형이 대수적으로 3 점으로 표현된다. 1, -1, e^i*θ
여기서 직관이 필요하다. 여기에 e^i*(-θ/2) 를 곱하는 것이다.

곱하면 삼각형은 그대로인데 세 점의 표현만 바뀌게 된다.  ( 원점으로 회전한 것 )

1, -1, e^i*θ  ==> e^i*(-θ/2), -e^i*(-θ/2), e^i*(θ/2)

살펴보면 두 켤레복소수만 나온다. 마지막 (θ/2 회전한 것)과 +- (-θ/2 회전한 것)
이것을 z와 z*라고 부르기로 하자.

1, -1, e^i*θ  ==> z, z*, -z* ( 점 순서를 바꾸었다. )

제일 긴 변 (빗변) 은 2*z*  ( z* - (-z*) 이다. 원의 지름 )
남은 두 변은 각각  (z - z*),  (z + z*) 가 된다.
켤레복소수의 특징인 켤레의 차는 순허수, 켤레의 합은 실수를 이용하자.
두 변은 허수축, 실수축에 평행으로 서로 직각을 이룬다.

어떤가 기하학으로 증명하는 것이 편한가 아니면 대수적으로 증명하는 것이 편한가?
둘이 어떻게 같은 성질을 이야기 하는 지 신기하지 않은가?


(추가) 중간에 좌표를 회전시켜서 단순화 시켰다. 어찌보면 기하적인 트릭을 썼다. 

그냥 대수적으로만 할 수도 있다. 기억할 것은 켤레의 차는 순허수가 된다는 것

세점이 1, -1, e^i*θ 이면 지름이 빗변인 내접 삼각형이 보인다. 

제일 긴 빗변은 실선에 놓여 있다.

원하는 각을 이루는 두 선분은 1+e^i*θ, 1-e^i*θ 로 표현된다. ( 벡터합처럼 조합한다. )

두 변의 각은 두 복소수를 나누어서 (혹은 하나의 켤레를 곱해서) 찾을 수 있다.

(1+e^i*θ)* 켤레(1-e^i*θ ) = (1+e^i*θ)* (1-e^-i*θ )

                                  = e^i*θ - e^-i*θ  ( 대수적으로 켤레의 차로 정리됨 )

그러므로 구하는 각은 순허수가 나타내는 각도이다. ( π/2, 90도, 직각 )