복소수로 증명하는 코사인 법칙 - 직각이 아닐 때의 피타고라스 정리

삼각형 ABC를 그리고 A를 중심으로 단위원을 그리고 단위점을 AB 선분 위에 둔다.

AB를 밑변으로 하는 삼각형을 볼 때 세 꼭지점의 복소표현은 다음과 같다.

A점 : 0

B점 : c ( AB 선분의 길이, 각C의 대변 ) 

C점 : b*e^iα ( 각B의 대변길이가 각A 만큼 회전 )

C점을 기준으로 바라본 B의 복소표현은 a*e^-β 이다. 

  ( 각A의 대변길이가 각B 만큼 음의 방향으로 회전 )

그러므로 b*e^iα+a*e^-β 복소수의 절대값 제곱은 c의 제곱과 같다.

복소수의 절대값 제곱은 켤레를 곱하여 구할 수 있다.

등식을 쓰면

c^2 = (b*e^iα+a*e^-β) * (b*e^i-α+a*e^β)

      = b^2 + ab*e^i(α+β)+ab*e^-i(α+β)+a^2

      = a^2+b^2+ab*( e^i(π-γ) + e^-i(π-γ) )  : 삼각형 내각합 α+β+γ = π 이용

세번째 항을 정리하면 e^iπ*(e^iγ + e^-iγ) 로 -2*cosγ 가 된다. (오일러 공식 이용)

그러므로 c^2 = a^2 + b^2 -2ab*cosγ

이 식은 피타고라스 정리와 유사한데, γ가 직각이면 ab 항이 사라지기 때문이다. 

( cos(π/2) =0 이용)

* A에서 B로 가는데 직선 길이 c 라고 하고 어떤 점 C 를 찍고 가는 거리를 b, a 라고 할 수 있다. 이때 각 α, β, γ 가 정해지고,  c = b*e^iα+a*e^-β 항등식이 성립된다.

여기서 삼각형 내각의 합이 π로 일정함을 이용해서 코사인법칙이 유도 가능하다.

또한 위 항등식에서 허수항이 0이 되는 조건이 바로 사인법칙이다.

b*sinα=a*sinβ

**사인법칙과 코사인 법칙을 일반해서 정리하면 

한점에서 다른점으로 바로 가는 것과 다른 점을 들러가는 것을 비교할 수 있다.

코사인법칙은 평행 성분의 합이 직선 길이인 특성의 표현이고

사인법칙은 수직 성분이 상쇄되는 특성의 표현이다.

복소평면에서 복소표현을 사용하면 c = b*e^iα+a*e^-β 이므로

우변의 실수항이 c ( 코사인법칙 ), 허수항이 0 ( 사인법칙 ) 이 자명하다.

코사인법칙을 삼각법에 나오는 꼴로 쓰려면 켤레곱을 이용하여 정리하고

싸인법칙을 확장하려면 외접원을 그려서 중심각과 원호각의 관계를 파악한다.

라디안 각도

각이 있다. 라디안으로 각도를 표현하고 싶다. 각도를 구하는 방법은?

1) 기하적인 정의

  두 선분이 한 점에서 만나 측정할 각이 있다. 이 점을 중심으로 원을 그린다.

  원주와 두 선분이 만나는 점 두 개를 발견한다. 

  둘 사이의 원주길이를 측정한다. 그리고 반지름으로 나누면 이것이 얻고자 하는 각도이다.

2) 좌표계를 그려서 대수적으로 계산할 수도 있다.

- 두 선분이 만난 점을 원점으로 하는 직교좌표계를 그린다.

- 단위원을 그린다.

- 선분과 단위원이 만나는 점을 복소지수함수로 표현한다. e^iα, e^iβ

- 두 선분 사이의 각은 둘 복소수의 나누기한 복소수에 해당하는 각이다. ==> α-β

     ( 둘 사이의 거리는 각각의 위치의 차, 단 위치를 원주 길이로 주었다. )

3) 직관하기.

- 마음속에 원형자(각도계)를 가지고 있다.

- 원주에는 기준점에서부터의 원주길이를 적어 놓았다. (반지름이 1인 원, 반바퀴는 π)

- 이 상상의 각도계 중심을 측정할 각의 교점에 놓는다.

- 기준선을 한 선분에 일치시키고 다른 선분이 가리키는 눈금을 읽는다.

각 방법의 장단점을 보자.

정의는 꼼꼼하다. 하지만 반지름과 원주길이를 측정해야 하고 그것을 나누어야 한다. 일반적으로 나누기가 나오는 것은 직관적이지 않다.

대수는 점을 좌표로 표현하는 과정이 있어야 한다. 사실 이게 라디안 구하는 것과 다름아니다.

하지만 좌표를 구하면 그 다음은 단순 사칙연산으로 바뀌니까 그 다음부터는 자동화가 가능하다.

직관하기는 사실 좌표계를 돌리고 늘리는 작업을 마음 속에서 하는 것이다. 그리고 이 직관을 발휘하려면 라디안 정의와 좌표계 개념이 추상화 되어 있어야 한다. 일단 추상화 되어 있으면 이를 이용해 답이 직접 보이는 경지가 된다. 아이가 자로 선의 길이를 재듯 마음 속의 추상개념으로 문제의 답이 바로 보이게 되는 것이다.

연습문제를 푸는 것은 이렇게 배운 수학개념이라는 직관도구를 익숙하게 쓸 수 있게 해준다.

쓰면 쓸수록 손에 익는 도구의 비유가 적절하겠다.

시험을 보는 것은 이 직관도구를 얼마나 능숙하게 쓰는 가를 평가하기 위해서다.

혹은 잘못 사용하는 것을 알아내서 고쳐 주기 위해서이다.

물론 분류를 하기위한 수단으로의 시험도 있지만.

보다 적절한 좌표계로 사인법칙 증명하기

지난 글에서 사인법칙의 증명에 다음 특성을 이용하였다.

 삼각형의 각은 외접원 원호각의 절반

증명하기 위해서 꼭지점을 1에 잡아서 대수정리를 하였다.

하지만 다시 생각해 보니 -1에 두면 더 직관적일 수 있다. 대수식이 더 단순해 지는 것이다.

증명해 보자.

질문) 삼각형 abc가 있고 이의 외접원이 있다. 각c가 원호 ab 각의 절반임을 보여라.

풀이) 

 1. 복소평면에서 외접원의 중심과 점c가 0, -1 에 위치하도록 좌표계를 잡는다.

 2. a는 e^iα, b는 e^-iβ 로 표현할 수 있다. ( ab원호각은 α+β )

 3. 선분 ac = 1+e^iα,  선분 bc = 1+e^-iβ 로 표현된다. (벡터 덧셈)

 4. 각c는 선분ac와 선분bc가 이루는 각이므로 두 복소수의 나누기 복소수의 각도이다. 

 5. 나누기 = (1+e^iα)/(1+e^-iβ)

 6. 분자의 각 α/2, 분모의 각 -β/2, 그러므로 나누기의 각 α/2+β/2

 7. 그런데 (α+β)가 원호각이다. 

 8. 그러므로 각c는 이 각이 마주보는 외접원 원호의 원호각 절반이 된다. 

     혹은 점c를 중심으로 단위원을 그리면 이 원호길이는 원호bc 길이의 절반이 된다.

활용) 삼각형 세 꼭지점 중 어느 것을 c로 생각하든 위의 각과 원호각의 관계가 만족된다.

    1. 세 각의 합은 π 이다. ( 세 원호각의 합은 2π )

    2. 선분bc가 지름이 되면 원호각이 π 이므로 각c는 π/2 즉 직각이 된다. (지름 직각삼각형)

    2. 각의 sine 값과 대변의 비율이 일정하다. 

               ( 점을 이동하여 지름이 빗변이 되게하면 sin(각) = 대변길이/외접원지름 

                 혹은 대변길이/sin(각) = 외접원지름 )

위와 같이 외접원 특성이 정리된다.

* 위의 6. 과정에서 부연설명이 필요하다.

1) 1+e^ix = e^ix/2 * ( e^-ix/2 + e^ix/2 ) 로 바꿀 수 있다. 

   괄호안의 켤레의 합은 실수다. 

   그러므로 이 복소수의 각은 x/2 이다. 

   기하학적으로 보면 마름모의 대각선은 꼭지각을 반으로 나눈다는 것과 같은 의미다.

 2) 두 복소수의 곱은 단위원에서 해당 원주길이의 합이고 

    두 복소수의 나누기는 단위원에서 분자원주길이 빼기 분모원주길이 이다.

      ( + 원주길이는 반시계방향 측정이고 - 원주길이는 시계방향 측정이다. )

삼각형의 외심을 찾아서 삼각형의 사인 법칙을 연역해 보기

세점이 있으면 원을 하나 특정할 수 있다.
이 원의 중심을 세점이 이루는 삼각형의 외심이라고 부른다.

일단 외심을 찾는 방법은 다음과 같다.

원의 중심에서 세점까지의 거리가 같는 단서를 이용하면 된다.
중심과 세점을 잇는 직선 세개를 그려보면 이등변 삼각형 3개를 찾을 수 있다.
각각의 이등변 삼각형으로부터 각변의 중심선이 원점에서 만남을 알 수 있다.

즉 세 점이 있어 세 연결된 선을 그리고 각선의 중심선을 그으면 한 점에서 만난다.

그 점에서 원을 그려보면 세점이 하나의 원 위에 있게 된다. (거리가 같다.)

짧게 써보자.

- 점 세개가 있다.
- 원 하나가 나온다.
- 원의 중심이 있다.
- 원의 중심에서 각 점을 잇는 선 3개를 그릴 수 있다.
- 선 3개는 3개의 이등변 삼각형의 중심선(대칭선)이다.

기하학적으로는 위와 같다.

이제 복소지수함수 e^iθ를 이용해서 상황을 보자.
복소평면에서 단위원의 원주상 세 점 ( a, b, c )가 있다. 

각각의 단위점에서의 원주 좌표는 θ1, θ2, θ3 이다.

복소수로 표현하면 e^iθ1, e^iθ2, e^iθ3 이다.

좌표를 회전하여 단위점 1이 a가 되게 할 수 있다.

이제 세 복소수는 (1, e^iα, e^iβ ) 이 되었다. ( α = θ2 - θ1 , β = θ3 - θ1 )

알고 싶은 것은 삼각형의 세각이 어떤 관계를 가지는 가 하는 것이다.

대수적으로 위 세 복소수를 이용하여 각각의 각의 표현을 알아보는 것이 목적이다.

ab 선분은 ( e^iα-1 ) 로 표현되고 ac 선분은 (e^iβ-1) 로 표현된다.

둘 사이의 각은 복소수 나누기가 된다. 

          (e^iα-1)/(e^iβ-1)

분자에 있는 첫번째 괄호를 살펴보자. 

이 복소수는 e^iα/2*(e^iα/2-e^-iα/2) 꼴이 되어  (π/2+α/2) 의 각을 가진다. 

포인트는 켤레복소수의 꼴로 만들어 순허수 i에 해당하는 π/2를 더하는 것이다.

두번째 괄호를 살펴보자. 앞과 마찬가지로 켤레복소수 차의 형태로 만들어 보자.

분모 위치의 복소수는 e^iβ/2*(e^iβ/2-e^-iβ/2) 꼴이 되어 (π/2+β/2) 의 각을 가진다.

우리가 구하고자 하는 복소수는 둘을 나누는 것이므로 두 각의 차 (α-β)/2 에 해당한다.

여기서 뺄 때 π/2 가 상쇄되었다.

회전하기 전의 좌표계로 돌아가기 위해서 α, β 를 θ 로 다시 표현하면 θ1 이 상쇄되고 (θ2 - θ3)/2 만 남는다. 

즉 ab 선분과 ac 선분이 만드는 각a은 ob 선분과 oc 선분이 만드는 각의 절반이다. 

a 의 위치(θ1)에 상관없이 말이다.

이제 각a의 sin 값을 구할 수 있다. a점을 ac 가 o를 통과하도록 이동하여 a' 이라고 하자. 

a'c가 원의 중심을 지나므로 삼각형 a'bc는 직각삼각형이 된다.

 

그러므로 지름을 빗변으로 가지는 직각삼각형에서 

   sin (각a) = sin (각a') =  bc 선분의 길이 / 원의 지름

각b, 각c에서도 마찬가지로 생각할 수 있다.

그러므로 사인법칙이 증명되었다. 

사인법칙

   세 개의 비율 [각변의 길이 / sin ( 그 변이 마주보는 각) ] 은 동일하다.

   그것은 외심을 찾아 그린 원의 지름이다.

* 사인법칙 대수적 증명 3줄 정리

1. 외접원을 그리면 두 점(bc)이 이루는 각 2개 (각boc, 각bac)는 2배의 관계가 있다. 

    (대수적으로 증명함)

2. 다른 한 점(a)을 움직여 지름을 포함하는 직각삼각형으로 만들어 sine 값을 구한다. 

     (a'bc에서 높이/빗변)

3. 세변에 대해 같은 방식으로 sine 값을 구해서 변형하면 사인법칙이 증명된다.

이등변 삼각형 문제, 두변이 같으면 두 빗각이 같음의 증명, 기하학적으로 혹은 대수적으로

기하학적으로 이등변 삼각형에 관련된 증명을 하는 것은 중학교에 많이 나온다.
바닥에 놓고 꼭지점을 반으로 가르는 수직선을 그리면 이등변 삼각형이 절반으로 나뉜다.
좌우 대칭인 두개가 나오니까 여러가지 증명을 할 수 있다.

오늘 해 볼 것은 두 각이 같은 크기를 가진다는 것이다. (이등변 삼각형의 등각 성질)
대칭이므로 등각이다.
기하학에서 자명하게 드러난다.

실제로 증명하려면 두변의 길이가 같고 사잇각이 같으면 같은 삼각형이라는 삼각형의 성질을 알고 있어야 한다.
꼭지점에서 내린 선과 이등변삼각형으로 주어진 조건에서 두변의 길이가 같다는 것이 나오고, 꼭지점에서 내린 선이 꼭지각을 반으로 나누었다는 것에서 사잇각이 같다는 것이 주어졌다. 그러므로 두 삼각형은 같은 삼각형이다. 그러므로 바닥의 두 각은 같다.

이제 이것을 복소평면에서 대수적으로 증명해 보자.
1. 복소평면에서 단위원을 그린다.
2. α각 (호도법 or 라디안)을 가진 점을 찍는다. e^iα ( 단위점에서 호의 좌표가 α 위치)
3. -α각을 가진 점을 찍는다. e^-iα (단위점에서 호의 좌표가 -α 위치)
4. -1, e^iα, e^-iα 세 점으로 이루어진 삼각형을 볼 수 있다.
5. 원점(단위원의 중심)에서 세 점을 각각 잇는 세 화살표를 그린다. 각각의 길이는 1이다.
6. 윗쪽 비스듬한 빗변의 길이는 (1+e^iα)의 길이이다.
7. 아랫쪽 비스듬한 빗변의 길이는 (1+e^-iα)의 길이이다.
8. 위 두 복소수는 서로 켤레 관계이다. 그러므로 두 길이는 같다. 즉 이 삼각형은 이등변 삼각형이다. (어떤 이등변 삼각형도 이 꼴로 만들 수 있다.)

여기서 직관을 발휘해 보자. 대수적으로 두 빗변의 형식은 같다. 단지 호도법 알파 각도를 반대로 돌렸을 뿐이다. 모든 성질은 같을 수 밖에 없다. 즉 빗변의 길이도 같고 두 각도도 같다. 그래도 대수적으로 증명해 보자.

각도를 표현해 보자.
1. 두 직선의 윗쪽 각은 수직 내려오는 복소수의 각 (-i) 빼기 -(1+e^iα) 이다. 이는 지수함수의 나누기로 표현되는 복소수의 각과 같다.
2. 이에 해당하는 복소수를 대수적으로 계산하면
 -i/-(1+e^iα) = i/(1+e^iα)

3. 아랫쪽 각은 두 복소수 ( -(1+e^-iα) , i ) 의 각이다.
   각을 구하기 위해 두 복소수를 나누어 보면
-(1+e^-iα) / i = i * (1+e^-iα )  ( 1/i = -i 이용 )

이제 두 각이 같음을 보여 보자.

1. 두 복소수를 나누어 보자. 혹은 하나의 역수를 곱해 보자. ( 계산을 간단히 하기 위해 3에 2의 역수를 곱하자)
i * (1+e^-iα ) * [ i/(1+e^iα) ]^(-1) = (1+e^-iα) * (1+e^iα)

2. 이 복소수를 살펴보자. 두 켤레의 곱의 형태로 나온다. 즉 양의 실수가 되었다. 혹은 이 켤레의 곱은 각도 0 을 나타낸다.

3. 두 복소수를 나누어 양의 실수가 나왔다는 것은 두 복소수가 복소평면에서 같은 각도를 이루고 있다는 것과 같다.

4. 그러므로 두 빗변이 이루는 두 각은 같은 각이다. ( 증명 끝 )

어떤가? 대수적으로 증명하는 것이 더 어렵게 느껴지는가?
우리가 기하적으로 직관하는 능력이 우수하기 때문이다.
대수를 많이 다룰수록 대수 직관력이 생길수 있다. 도전해 보고 싶지 않은가?

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추가 노트
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반복적으로 나오는 대수 성질을 직관할 수 있으면 도움이 된다.
1. 두 복소수가 켤레 관계이면 둘을 곱하면 실수가 된다.
2. 두 복소수가 켤레 관계이면 둘을 더하면 실수가 된다.
3. 두 복소수가 켤레 관계이면 둘의 차이 (삼각형)는 순허수가 된다.

혹은 θ 돌린 것과 -θ 돌린 것은 ( 켤레는 ) 실수선에 대해 대칭이다. (서로 길이가 같음)
- 곱하면 길이의 제곱이 되고, 더하면 실수만 남고, 빼면 허수만 남는다. (실수2배, 허수2배)

켤레복소수는 무엇인가? 극좌표계에서 변환은 어떻게 표현하는가? 대수적으로 풀어보는 삼각형 내각의 합

우리가 고등학교에서 복소수를 배울 때 켤레 복소수를 정의한다. 중요한 특징은 어떤 복소수의 켤레복소수를 구하고 둘을 곱하면 복소수의 크기의 제곱값(실수)가 나온다는 것이다. 이를 증명하는 방법은 i^2 = -1, 피타고라스의 정리를 이용한다.

수학적으로 적어보면 아래와 같다.
Z = a + i*b
켤레(Z) = a - i*b
Z * 켤레(Z) = (a+i*b)*(a-i*b)
               = a^2 + b^2                            여기서 넘어갈 때 i^2 이용
               = {절대값(Z)}^2                         여기서 넘어갈 때 피타고라스 정리 이용


다른 방법으로 이 특징을 살펴보자.

지수함수를 이용해 극좌표 형태로 복소수를 표현할 수 있다.
Z = r * e^(i*θ) : 단위점 ( 1 ) 을 θ 회전 시키고 크기 r을 곱한다.

다음 질문을 해보자.
어떤 복소수가 있을 때 좌표계를 어떻게 회전시키면 실수로 표현될까?

직선상에서 철수가 3 걸어간 것은 원점이 -3에 있는 것과 같다고 말했다.
철수가 걸어간 것이 아니라 원점이 -3 이동하고 좌표를 읽는 것과 같다.
원점이 -3에 있으니 원점으로 돌아가는 방법은 -3을 더하는 것이다.

복소수가 e^iθ 방향을 가리키고 있다는 것은 + 방향을 -θ로 보냈다는 의미이고 복소수를 실수로 만들기 위해서는 -θ 방향에에 해당하는  e^-iθ 를 곱해야 하는 것과 같다. 앞의 더하기 예와 유사성을 느낄 수 있는가?

앞에서는 원점에 대해서 더하는 문제였다. 복소수의 회전은 실수 단위점에서 원주 상에서 거리를 지수함수로 만들어 곱하는 문제가 된다.

혹은 θ 회전시켰으면 반대 방향으로 θ 회전 시키면 회전이 상쇄된다고 이해할 수 있다.
e^iθ * e^-iθ = 1

살펴보면 θ에 음의 부호를 붙이는 것이니까 오일러공식에서 허수부에 - 부호를 붙이는 것과 같다.

켤레복소수를 얻기 위해서 허수부에 - 부호를 붙인다 라고 외울 수 도 있고
실수부를 얻기 위해서 좌표를 회전시키기 위해서 e^-iθ 를 곱한다고 할 수도 있다.
그런데 이것을 곱하면 허수부에만 -를 붙이는 것과 결과가 같다.

켤레복소수는 극좌표계에서는 반대방향 θ 회전으로 정의하자.
그러면 복소수와 켤레의 두 곱은 회전 없이 크기의 제곱이 된다.
직교좌표계에서 해석하면 두 벡터는 실수부는 같고 허수부는 반대 부호가 된다.

복소수를 다룰 때 기하적인 성질이 복소 사칙연산으로 된다는 것이 포인트 이다.
방향을 바꾸는 것, 각도를 더하고 빼는 것이 길이가 1인 e^iθ 를 곱하고 나누는 것으로 표현된다는 것이 키이다.

90도 각을 돌리고 싶다면 e^i*pi/2 를 곱하자. 아 이것은 i 이므로 i를 곱하면 90도 회전이 된다.

두 성분의 사이 각도를 계산하고자 한다면 나누면 된다. 단 더 왼쪽에 있는 것을 상대적으로 오른쪽에 있는 것으로 나누자. ( 반대로 하면 음의 각도가 나온다. )

이를 이용해서 삼각형의 내각합을 구해보자. 벡터1, 벡터2, 벡터3 이 있고 삼각형을 이룬다.
벡터1과 벡터2 벡터3이 꼬리와 머리가 이어져서 원점에 돌아온다.

1. 벡터1과 벡터2 각도차를 표현하는 지수함수 : (1 방향을 표현하는 지수함수) / (2 방.지.)
2. 벡터2와 벡터3 각도차를 표현하는 지수함수 : (2 방.지.) / (3 방.지.)
3. 벡터3과 벡터1 각도차를 표현하는 지수함수 : (3 방.비.) / (1 방.지.)

세 각의 합을 표현하는 지수함수는 위 세가지 지수함수의 곱이다. : 서로 약분되고 -1 남음
그러므로 세각의 합은 180도, Pi 이다. ( 지수함수에 어떤 각을 넣으면 -1 이 될까? 오일러 항등식을 기억해 보자. )

삼각형 내각의 합을 복소지수함수의 나누기 곱하기로 표현하였더니 서로 상쇄되어 -1 ( pi 라디안 ) 이 된다.

당신은 기하가 편한가? 대수가 편한가? 편하다기 보다는 마음에 든다고 해야 할 지 모른다. 당신의 취향은 기하 or 대수 ? 나는 기하와 대수의 얽힘이 나를 매혹시킨다.

원주위의 한 점과 지름으로 만들어지는 삼각형은 직각삼각형인가?

서양 합리주의의 바탕에는 기하학과 대수학의 통합이 있다고 한다.

복소수 지수함수 ( e^i*θ )를 이용해 기하학 문제를 대수적으로 풀 수 있다.

(기하학 :  https://en.wikipedia.org/wiki/Geometry
 대수학 : https://en.wikipedia.org/wiki/Algebra )

오늘 생각해 볼 문제는 원에 내접하는 삼각형이다.
내접한다는 것은 삼각형의 세 꼭지점이 원주 위에 있다는 것이다.

원이 하나 있고 원주 위에 있는 세점을 정해서 직선으로 이으면 원에 내접하는 삼각형이 생긴다. 이 중에 특별히 한 변이 원의 지름인 삼각형을 따로 생각할 수 있다. 중학교에서 도형의 증명 때 나오는 쉬운 문제 중에 하나이다.

"한 변이 원의 지름인 원에 내접하는 삼각형은 직각삼각형이다."

기억이 나는 사람은 기하학적으로 증명해 보시길.

오늘은 대수적으로 증명해 보고자 한다. 복소평면에 원점에서 단위원을 그린다.
원주 상의 점 하나를 찍는다. 이 점의 위치는 e^i*θ 이다. 이전 오일러공식 글에서 정리했듯이 자연상수 e ( 2.71828 )를 밑(base)로 하는 지수함수의 복소 지수 꼴이다. ( 단위점에서 시작해서 수직인 방향으로 조금씩 방향을 바꾸면서 원주를 따라 원주길이 θ 만큼 떨어진 점. 당연히 θ는 라디언 이라고 불리우는 반바퀴가 π 인 각도 단위 )

우리가 관심있는 삼각형이 대수적으로 3 점으로 표현된다. 1, -1, e^i*θ
여기서 직관이 필요하다. 여기에 e^i*(-θ/2) 를 곱하는 것이다.

곱하면 삼각형은 그대로인데 세 점의 표현만 바뀌게 된다.  ( 원점으로 회전한 것 )

1, -1, e^i*θ  ==> e^i*(-θ/2), -e^i*(-θ/2), e^i*(θ/2)

살펴보면 두 켤레복소수만 나온다. 마지막 (θ/2 회전한 것)과 +- (-θ/2 회전한 것)
이것을 z와 z*라고 부르기로 하자.

1, -1, e^i*θ  ==> z, z*, -z* ( 점 순서를 바꾸었다. )

제일 긴 변 (빗변) 은 2*z*  ( z* - (-z*) 이다. 원의 지름 )
남은 두 변은 각각  (z - z*),  (z + z*) 가 된다.
켤레복소수의 특징인 켤레의 차는 순허수, 켤레의 합은 실수를 이용하자.
두 변은 허수축, 실수축에 평행으로 서로 직각을 이룬다.

어떤가 기하학으로 증명하는 것이 편한가 아니면 대수적으로 증명하는 것이 편한가?
둘이 어떻게 같은 성질을 이야기 하는 지 신기하지 않은가?


(추가) 중간에 좌표를 회전시켜서 단순화 시켰다. 어찌보면 기하적인 트릭을 썼다. 

그냥 대수적으로만 할 수도 있다. 기억할 것은 켤레의 차는 순허수가 된다는 것

세점이 1, -1, e^i*θ 이면 지름이 빗변인 내접 삼각형이 보인다. 

제일 긴 빗변은 실선에 놓여 있다.

원하는 각을 이루는 두 선분은 1+e^i*θ, 1-e^i*θ 로 표현된다. ( 벡터합처럼 조합한다. )

두 변의 각은 두 복소수를 나누어서 (혹은 하나의 켤레를 곱해서) 찾을 수 있다.

(1+e^i*θ)* 켤레(1-e^i*θ ) = (1+e^i*θ)* (1-e^-i*θ )

                                  = e^i*θ - e^-i*θ  ( 대수적으로 켤레의 차로 정리됨 )

그러므로 구하는 각은 순허수가 나타내는 각도이다. ( π/2, 90도, 직각 )

직관적으로 이해하는 지수함수(4) - 계속 방향 바꾸는 옆걸음, 수직 기호 i, 오일러 항등식 e^iπ=-1

원은 수학에서 중요한 도형이다. 원은 한 점에서 거리가 같은 점들의 모임이라고 정의한다. 콤파스로 원을 그려 본 사람은 쉽게 생각할 수 있을 것이다. 여기서는 조금 다른 방법으로 원을 생각해 보자.

예1) 모래사장에 게 한 마리가 우리가 세워놓은 막대기를 바라보고 있다. 게는 막대기를 정면으로 바라보면서 옆걸음한다. (게의 오른쪽이라고 생각하자) 한 걸음 걷게 되면 막대가 왼쪽으로 조금 틀어지게 된다. 이때 게가 다시 정면이 되게 몸통을 왼쪽으로 조금 튼다. 다시 한걸음 오른쪽으로 간다. 다시 정면이 되게 몸을 튼다. 이렇게 계속 옆으로만 걸었다. 막대가 정면이 되도록 조금씩 몸을 틀면서. 

계속하게 되면 모래사장에 게가 남긴 흔적은 어떤 모양을 만들었을까? 원과 비슷하게 출발한 근처로 돌아오게 되었을 것이다. 게는 막대까지의 거리를 생각하지 않고 단지 막대가 정면이 되도록 방향을 조금씩 틀면서 옆으로 걸었을 뿐이다.

예2) 이제 콤파스로 원을 그리는 것을 다르게 생각해 보자. 콤파스의 두 다리는 서로 마주 보고 있다. 둘 사이의 거리는 고정되어 있다. 한 다리 위치를 고정하면 움직일 수 있는 방향은 옆 방향 뿐이다. 중심점을 바라보면서 옆으로만 가다 보면 (앞뒤로는 갈 수 없으니) 원이 완성되는 것이다. 앞뒤로 가지 못했으니 원의 어느 점을 보아도 원점까지의 거리가 같다. 혹은 움직이는 다리가 가는 방향(접선)은 옆(원점까지 그은 직선에 수직) 이 될 수 밖에 없다.

예3) 여기서 원의 정의를 한 평면에서 원점에서 거리가 같은 점의 집합이라고 할 수 도 있고, 수직한 방향으로만 움직일 수 있는 점의 궤적이라고 할 수 있겠다. 수직한 방향이라는 것이 위치가 바뀔 때마다 계속 조금씩 바뀐다는 것이 상상하기 어렵게 하는 것이긴 하다. 아 쉬운 비유가 있다. 놀이터에 뺑뺑이가 있다. 중심을 바라보고 매달려 있다. 뺑뺑이를 돌린다. 나는 어느 방향으로 움직이는가? 옆으로만 간다. 내가 움직이므로 옆이라는 것도 계속 바뀌기는 하지만..

세가지 예를 들어보았다. 이제 수학적으로 추상화 해보자. 모래사장의 게도 필요없고, 콤파스도 필요없고 뺑뺑이도 필요없다. 그저 수직으로만 계속 가면 된다. 1 위치에서 수직으로 이동한 거리를 2*PI 만큼 가면 제자리로 돌아온다. 절반인 PI를 가면 -1 위치에 있다. 절반의 절반인 PI/2 만큼 이동하면 원점에서 실수직선 위 1 만큼 떨어진 위치에 있다. 

제약이라는 관점에서 이 두 가지 경우를 살펴보자. 수직으로 간다는 것은 거리 변화 없이 옆으로만 간다는 제약과 같다. 즉 "중심점 까지의 거리가 같다"와 "중심점까지 그린 반지름에 수직 방향으로만 이동한다"는 이 두 개의 제약이 실제로 같은 제약인 것이다. 이 제약의 결과는 원이다. 원은 거리가 같은 점의 집합이다. 접선을 생각할 때 어느 점에서건 중심까지의 직선에 접선이 수직인 폐곡선은 원이다. ( 다각형을 그리고 변이 중심선에 수직이 되게 만든다. 다각형을 계속 나누어 더 많은 각을 가진 다각형을 만드는 데 새로 만든 변이 중심선에 수직이 되게 한다. 계속 각을 많이 주면 줄수록 이 제약에 따라 원에 가까워진다.) 무한 다각형이 원이다. 수직조건 제약에 따라 각변의 중심까지의 거리가 같아지게 된다. 당연하면서도 신기하다.

위의 상상으로 우리가 알게 된 것은? "같은 거리다"와 "수직으로만 움직인다는 것"은 같은 제약의 다른 두 표현인 것이다. 둘다 원을 가리킨다. 하나는 결과적인 관점이고 하나는 과정적인 관점인 것이 다르다. 잠깐 옆길로 새서 "성실히 임하면 성공한다"는 말을 생각해 보자.
성공은 결과고 성실히 임하는 것은 과정이다. 성공한 사람은 성실히 임했겠고 성실히 임한 사람은 성공했을 것이다. 성공하라고 하면 막막할 수 있다. 성실히 임하라고 하면 왜라고 의문이 생길 수 있겠다. 성공만 하면 되지 라고 잘못된 길로 들어설 수도 있겠고 성실히만 하는 제자리 맴돌기에 머무를 수도 있겠다. 하지만 수학은 그런 것이 없다. 같은 거리다 라고 하면 원이 떠오르고 중심을 바라보고 수직으로만 움직여라 하면 원이 그려지는 것이다. 실상에서는 목적을 강조할 수도 있고 과정을 강조할 수 있고 둘다 잘못 될 수 있지만 수학은 동일한 결과를 내는 완벽한 세상이다.


원의 2가지 동일한 제약을 이해했다면 이제 기호를 이용해서 편하게 의사소통할 수 있도록 약속을 할 차례다. 새로운 손가락이다.

실수를 심상하였던 등간격 직선에서 기호가 2개 나왔다. 바로 +와 - 이다. 그러면 수직방향 기호도 정해보자. i 라고 정해보자. +1은 +방향으로 1 이라는 의미이다. +i*1은 무엇을 뜻할까? 직선방향을 바라 볼 때 직선의 왼쪽 수직방향 ( 수직방향도 2개다. 원점에서 바라보았을 때 왼쪽과 오른쪽) 으로 1칸 이라고 "약속" 하자. 원점에 i 방향의 등간격 직선을 하나 더 그리면 이제 평면의 모든 점을 가리키는 숫자를 적을 수 있다. 철수가 마당의 어디이건 숫자로 이야기 할 수 있게 된 것이다.*

예를 들어 앞개울 쪽으로 3걸음 간 다음에 왼쪽 방향으로  4 옆걸음 간다. : 3+i*4
혹은 뒷동산 쪽으로 4 뒷걸음 치고 나서 왼쪽 방향으로 3 옆걸음 간다. : -4+i*3

철수가 이렇게 앞걸음, 뒷걸음, 왼쪽 옆걸음, 오른쪽 옆걸음으로 움직이는 방법 말고 다른 방법이 있다. 아까 그렸던 원을 이용하는 것이다. 처음 위치에서 갈려고 하는 방향으로 몸을 돌리고 똑바로 걸어가는 것이다. 결록적으로 이것을 수학적으로 표현하면 "지수함수의 복소수 지수 형태"로 나타내게 된다. 이 4개의 글 연재에서 처음 하고자 하였던 목표가 드디어 모습을 들어낸다. 지금부터 잘 풀어보자.

지수함수의 의미를 잘 이해하려면 미분, 적분의 개념을 이해하여야 한다. 복소수, 복소지수함수도 이해하는 마당에 미분적분이 뭐가 어렵겠는가. 하지만 한번에 하나씩 소화하도록 하자. 지난 번에 이해한 "어떤 점에서의 변화량이 자기 자신의 값에 비례한다"는 것만 일단 염두에 두면 된다.

지수의 부호가 + 이면 양이 증가하는 것이고, 지수의 부호가 -이면 양이 줄어드는 것이다.
실수직선에서 보면 지수가 양수이면 그 값이 될 때까지 늘리는 것이고 지수가 음수이면 그 값에 해당하는 곳까지 (0보다 큰) 축소해 나가는 것이다. ( 예 : +2 이면 0에서 늘리면서 2가 될 때까지 지수함수 해나감, -2 이면 0에서 2이 될 때까지 양을 줄여나가는 지수함수 해 나가는 것. )

이제 지수 기호에 i 를 써보자. e^i2 이것은 지수가 0에서 2가 될 때까지 90도 방향으로 이동하는 것이다. 이 글의 처음에 게걸음 하는, 콤파스 하는, 뺑뺑이 하는 비유랑 같이 움직이는 것이다. 어느 만큼 이동할까? 그렇다. 반지름의 2배만큼이다. 

지수함수에서 +,- 는 양을 늘리고 줄였다. i, -i 는 오른쪽, 왼쪽으로 회전하는 것이다. 드디어 지수함수를 이용해서 회전을 혹은 방향을 표현할 수 있게 되었다.

기호가 +i 이면 90도 방향으로 그 숫자에 해당하는 원주 길이 만큼 원을 따라 회전하는 것이고 기호가 -i 이면 -90도 방향으로 그 숫자에 해당하는 원주 길이 만큼 회전하는 것이다.
여기서 출발점은 0 일 때이므로 실수선의 1 눈금에 해당하게 된다. (여기서 원주길이만큼 회전한다는 것은 지수함수의 밑이 자연상수 e = 2.71828... 일 때만 해당한다. 미분, 적분으로 계산하면 나온다. 밑에 어떤 양수를 놓더라도 크기가 1인 원이다. 다만 회전하는 속도가 다를 뿐이다.)

이제 회전의 연산을 해보자. 지수함수의 특성이 기억나는가? 지수함수의 곱은 지수의 합을 나타낸다. 원주길이1(세타1)을 돌고 원주길이2(세타2)를 돈 것은 합친 원주길이 (세타1+세타2)를 돈 것이다. 이제 지수함수로 원위의 점을 나타낼 수 있으니까 적절한 연산을 찾으면 되는데 이는 곱하기가 된다.
   e^(i*(θ1+θ2) = e^(i*θ1) * e^(i*θ2)

이렇게 지수함수의 지수에 허수를 넣으면 복소평면에 반지름 1인 원을 가질 수 있다. 허수 지수인 두 지수함수를 곱하는 것은 회전을 더하는 의미가 된다. ( i 기호를 붙인 숫자를 허수라고 부른다. 역사와 관계가 있다. i 라는 기호도 이 역사에서 상상을 뜻하는 imaginary 에 어원이 있다. 실제는 실수체계와 수직관계에 있다는 기하학적 의미가 있다는 것은 오일러 후세의 이야기이다. )

드디어 목적지에 도착하였다. 지수함수에 허수를 넣으면 원주길이만큼 돌아간 단위원 상의 점을 가리킨다.

힘들게 질문과 설명을 거쳐 답이 나왔다. 장장 4개의 긴 글타래였다.

이제 수학적인 모델이 나왔으니까 유명한 오일러 항등식을 살펴보는 것만 남았다. 오일러항등식이 많은 사람들을 매혹시키는 이유를 혹자는 신비한 세가지 숫자의 결합으로 설명한다.역사적으로는 따로 발견한 3가지가 하나로 뭉쳐지는 손가락이 나온는 것이다. 

(π 는 기하학에서 원주와 지름의 관계에서 나왔다. 

i 는 2차방정식을 풀기 위해 나왔다. 유령같은 허수라고 생각했다. 

e는 천문학 계산을 도와주기 위한 로그함수에서 나왔고 계산기준 정하다 보니 2.71828.. 이었다. )

우선 허수축 전체 ( 좌에서 우로 달리는 실수 직선에 수직 교차하는 아래에서 위로 뻗는 실수 직선)가 지수함수를 통해서 어디로 변형되는 지 생각해 보자.
  0의 눈금은 e^0=1 (1,0)에, pi/2 눈금은 exp(i*pi/2)=i (0,1), pi 눈금은 exp(i*pi)=-1

그렇다 아까 원주를 따라 돌았던 게의 흔적 중의 특정 점 3개를 지수와 허수와 파이를 이용해서 표현한 것이다.

각 눈금이 옮겨가는 것을 해 보았으므로 모든 실수 값이 어디로 옮겨갈 지 알아차릴 수 있을 것이다. 해보면 원점을 중심으로 하는 반지름 1인 원의 원주상 점으로 옮겨간다. [-pi/2, pi/2] 구간의 모든 점이 단위원의 원주위의 점으로 차례로 대응된다. 그 범위를 넘어가는 점은? 주기적으로 한바퀴를 돌아서 계속 대응된다.  ( 지수함수의 밑이 자연상수 e, 각도의 단위가 라디안일 경우에 한함. 자연상수는 원점 기울기가 1, 라디안은 길이비로 표현하는 각도라는 성격을 가지고 있기 때문에 그렇다. )

    이 실선을 원으로 옮기는 맵핑은 수식으로 적어둘 필요가 있다. 너무 유명하기 때문이다.
           오일러 공식 :  exp(i*θ) = cos(θ) + i*sin(θ)
         ( 오일러 공식은 "보석" 이다. 리차드 파인만, Physics Lecture )

     고등수학에 익숙하지 않은 일반인을 위해서는 θ=π 인 경우인 "오일러 항등식"이 알려져 있다. 다른 역사를 가진 불가해한 3가지 기호가 모여서 -1의 값을 가지게 되었다.

          e^iπ+1 = 0  ( e^iπ = -1 )

이번 시리즈의 마지막 요청이다. 마음속에 만든 직선과 단위원의 심상으로 이 보석을 직관해 보자.
  원점과 단위점을 그린 실선을 마음속에 그린다.

  원점을 중심으로 단위점을 지나는 단위원을 그린다.

  단위점에서 단위원을 따라 π 길이만큼 움직였더니 (반원) 다시 실선과 만났다.

  그 점은 -1 이다. 

어떤가? 암호처럼 보이던 수학기호가 달덩이처럼 무언의 말을 속삭이는 것 같지 않은가?
현현한 밤하늘의 반달이 보석처럼 보이기를..

다음에 기회가 되면 미분 적분을 풀어보고 더하여 자연상수 e가 왜 자연상수 인지 생각해 보자.

(글 4개의 연재 끝)

운동에너지 보존법칙으로 증명하는 피타고라스 정리

피타고라스 정리는 그리스 시대에 발견되었다. 직각을 정확히 그릴 수 있게 하는 훌륭한 도구이다. 기하학적으로 증명하는 무수한 방법이 있다. 이번 글에서는 에너지 보존법칙으로 살펴본다.

속력 v를 가진 질량 m 인 물체의 운동에너지는 1/2*m*v^2 이다.
이는 뉴튼의 운동방정식을 적분하면 얻을 수 있다.
등가속으로 v 까지 가속된 물체는 속도 0에 비해서 이 운동에너지를 가지게 된다. (그만큼 힘이 일을 한 것이 운동에너지로 바뀌었다고 생각하고 적분함.)

관성계에서 이 문제를 살펴보자. 등속도로 움직이는 좌표계에서 속력이 달라지므로 운동에너지는 달라지게 된다. 즉 운동에너지는 절대적인 값이 아니고 좌표계 안에서 측정되는 속력에 의해 결정되는 값이다.

우선 예를 들어 계산해 보자.

처음 관성계에서 속도 0인 것과 속도 5인 질량이 같은 물체 2개가 있다.
속도 5인 물체와 같이 움직이는 관성계에서 보면 속도 -5, 속도 0인 물체로 보인다.
두 물체의 운동에너지의 합은 어느 관성계에서 계산하더라도 같은 값이어야 한다. (에너지 보존법칙)
    관성계1 운동에너지 합: 0+1/2*m*(+5)^2
    관성계2 운동에너지 합: 1/2*m*(-5)^2+0   (사칙연산에서 (-1)^2 = 1 이므로 둘은 같다.)

이제 관성계3을 속도 5인 물체에 비스듬한 방향으로 그 방향의 속도 성분으로 움직인다고 생각해보자. 속도 5인 물체의 속도 성분이 3이 되는 방향으로 속도 3으로 움직이는 경우에 두 물체의 운동에너지 합을 따져보자. 관성계3에서 보이는 물체의 운동에너지는 관성계1에서 정지되었던 물체의 속도-3에 대한 운동에너지 더하기 5로 움직이던 물체의 관성계3에서의 수직성분 속도(v)에 의한 운동에너지 일 것이다. ( 관성계3을 수직성분만 보이도록 정하였으므로 )
    관성계1 운동에너지 합 : 1/2*m*(+5)^2
    관성계3 운동에너지 합 : 1/2*m*(-3)^2 + 1/2*m*(v)^2

두 관성계에서 각각 물체의 운동에너지의 합이 보존된다면 위 2개의 식을 등호로 놓고 사칙연산으로 풀 수 있다. 풀어보면 v=4가 된다. ( 5^2-3^2 = 16 = 4^2 )

이제 앞의 예를 일반화 해보자.
1. 속도를 임의로 두 수직인 성분으로 나눈다. (직각 삼각형을 이루는 벡터합을 만든다.)
2. 직각삼각형의 빗변 속도는 수평성분, 수직성분으로 나뉘어 진다.
3. 수평성분이 0이 되게 움직이는 관성계에서는 수직성분 속도만 보인다.
4. 관성계를 바꾸었으므로 더해지는 운동에너지가 있다. 이는 수평속도에 의한 운동에너지다. 굳이 따지고 싶으면 원래 관성계에서 같은 질량으로 정지해 있던 물체의 운동에너지를 생각하면 된다. ( (-1)*(-1) = 1 )
5.  "두 관성계에서 운동에너지가 같음"으로 어떤 각도로 속도를 나누어도 직각이기만 하다면 각각의 속도 성분 제곱의 합은 동일하다.

이제 결론이다.

물리법칙인 운동에너지 보존 법칙을 써서 다음을 보였다. 속도를 직각인 임의의 두 성분으로 나누어도 각각의 제곱의 합은 일정하다. 이 값은 나눈 대상인 원래 속도의 제곱값이다. 이것은 피타고라스의 정리와 동일하다. ( 직각삼각형에서 세변의 길이 제곱의 관계 )
( Q.E.D, 증명 끝 )

피타고라스의 정리로 직교좌표계를 써서 운동량을 각 성분으로 나누는 것이 가능하고
꺼꾸로, 좌표계에 상관없이 운동에너지가 보존된다는 물리법칙에 근거해서 피타고라스 정리를 증명할 수 있다.

직관적으로 이해하는 지수함수(3) - 곱하기의 세상 혹은 변화율이 크기에 비례하는 세상

아이들 놀이 중에 곱하기 2 놀이가 있다. 2 곱하기 2는?  그 답에 다시 2를 곱한다. 이렇게,
문1 : 2*2 는 ?     답 : 4
문2 : 4*2 는 ?     답 : 8
문3 : 8*2 는 ?     답 : 16
.
문9 : 512*2 는? ( 9번째 물어 본 것이다.)  답 : 1024 ( 자릿수 4개나 되었다. )

단지 두 배씩 할 뿐이지만 10 번만 하면 1024나 된다*.  11번째는 10번째보다 1000 이나 많은 2000이 된다**.  2에서 시작하는 경우 매 번 늘어나는 정도가 자기의 현재 값 만큼이라 점점 증가하는 폭이 커진다. 클수록 커지는 정도가 빨라진다. 눈덩이 굴리듯 말이다.

이렇게 늘어나는 정도가 자기가 가지고 있는 양에 비례하는 성격을 가진 것을 지수형태로 표현하는데, 시작하는 값을 "밑" 이라고 하고 곱하는 횟수를 "지수"라고 한다. ***

늘어나는 정도가 항상 똑같은 것은 산술증가라고 하는데, 우리의 일상에서 자주 마주친다. 예를 들어 밥을 먹는 것을 따져보자. 하루에 3번씩 먹으니까 열흘 동안 밥 먹은 횟수는 30 이다. 매일 밥수가 3씩 증가한다.

    1, 2, 3, ... :  매번 1씩 늘어난다. 변화율 1, 혹은 비례상수 1 ****
    2, 4, 6, ... :  매번 2씩 늘어난다. 변화율 2, 혹은 비례상수 2
    3, 6, 9, ... :  매번 3씩 늘어난다. 변화율 3, 혹은 비례상수 3

대조적으로 지수형태로 늘어나는 경우는 매번 늘어나는 양이 커진다. 아까 밑이 2인 경우를 들었는데 매번 늘어나는 양을 생각해 보자. (1, 2, 4, 8,  ... : 늘어나는 양이 두배씩 된다. )

이것을 수학에서 표시하기로 약속한 것이 지수 함수이다. 밑과 지수로 되어 있다. 밑은 시작하는 1 다음에 오는 첫 번째 값이다. 지수가 정수일 경우에는 여러 번 곱하는 것으로 쉽게 생각할 수 있다. ( 밑이 2 이라면 1, 2, 4, ...  밑이 3 이라면 1, 3, 9, ... 밑 4, => 1, 4, 16, ...  )

온 만큼 더 가는 철수가 걸어가는 것으로 비유해서 생각해 보자. 원점에서 1의 위치에 있는 철수가 있다. 처음에는 1온 만큼 1 더 가서 2 만큼 갔다. 원점을 보니 2만큼 떨어져 있다. 다음은 (밑이 2)  온 만큼 2 더 가야 한다. 4에 도착 하였다. 그 다음은 온 만큼 더 가야 하니까 8 까지 간다. 이렇게 10 번 째에는 1000 걸음에 도착한다. 1에서 시작해 3 배만큼씩 하거나 4 배 만큼씩 하는 것은 구글에게 물어보자. ( 3^10 =, 4^10 = )

여기서 재밌는 특성 하나를 보여 주고 싶다. n번째에서 다음 늘어나는 양이 얼마일까 ?
  밑이 2 일 때는 2^(n+1) - 2^n = 1*2^n  ( 11번째는 10번째 값 만큼 더 늘어남 )
  밑이 3 일 때는 3^(n+1) - 3^n = 2*3^n  ( 11번째는 10번째 값에 2를 곱한 만큼 + )
  밑이 4 일 때는 4^(n+1) - 4^n = 3*4^n  ( n+1 번째는 n번째 값에 3을 곱한 만큼 + )

규칙을 발견할 수 있는가? 지수가 1 더해지면 지금 지수승 값에 비례하는 값을 더해야 한다.
비례하는 값은 밑과 관계가 있다. (곰곰히 생각하면 밑을 거듭제곱한다는 말과 같은 말이다.) 밑이 커지면 비례하는 값이 커지는 것을 발견했는 지?

자연수를 지수 위치에 넣어 보았다. 이제 실수를 넣어 보자(일단 양의 실수). 시작점으로 0을 넣으면 언제나 1이라고 약속하자.

밑이 2인 경우에 지수에 0.1을 넣은 것을 상상할 수 있는 지? 앞에서 소개한 특성을 생각해 보자. 조금 증가했을 때 (0에서 0.1) 0일 때의 값에서 조금 더 늘어난다. 지수가 0.2가 되면 지수가 0.1일 때의 값 ( 아까 1에서 조금 늘어난 값 ) 보다 조금 더 늘어난다. 하지만 늘어나는 변화량은 아까 0.1 일 때보다 늘어난다. 이렇게 지수가 1까지 늘어날 때 0.1 당 늘어나는 변화량이 조금씩 늘어난다. 처음 1에서 2가 될 때까지... 구글 검색식에 넣어서 값을 찾을 수 있다. (여기에 값을 쓰지만 직접 구글링으로 계산해 보기를 권한다.)
 
   2^0 = 1
   2^0.1 = 1.07177346254     늘어난 양 : 2^0.1-1 = 0.07177346253
   2^0.2 = 1.148698355                2^0.2 - 2^0.1 = 0.07692489246
   2^0.3 = 1.23114441334             2^0.3 - 2^0.2 = 0.08244605834
   2^0.4 = 1.31950791077             2^0.4 - 2^0.3 = 0.08836349742
   2^0.5 = 1.41421356237             2^0.5 - 2^0.4 = 0.0947056516
   2^0.6 = 1.51571656651             2^0.6 - 2^0.5 = 0.10150300413
   2^0.7 = 1.62450479271             2^0.7 - 2^0.6 = 0.1087882262
   2^0.8 = 1.74110112659             2^0.8 - 2^0.7 = 0.11659633388
   2^0.9 = 1.86606598307             2^0.9 - 2^0.8 = 0.12496485648
   2^1   = 2                                 2^1 - 2^0.9 = 0.13393401692

숫자가 많아서 머리가 아플 수 있다. 늘어나는 숫자가 점점 늘어남을 알면 된다. 소수점 셋째짜리 까지만 4개 써 보겠다. (0.072, 0.077, 0.082, 0.088)

다음에 해볼 것은 늘어난 양을 그 곳 값으로 나누어 보는 것이다. 일정한 값이 나올 것이다.
간략하게 수학식으로 써보자.
 {  2^[(n+1)/10] - 2^[n/10] } / 2^[n/10] = 0.717735/10  ( n 은 0 에서 10까지 자연수 )

지수함수는 항상 이런 식이다. 어떤 점에서의 기울기는 그 곳 값에 비례한다. 비례상수는 밑이 커지면 커지는 관계가 있다. 밑이 2, 3, 4 일 때 비례상수는 다음과 같다. ( n=0 일때 0.1 증가했을 때 변화량 )

    2^0.1-1 = 0.717735 * 0.1
    3^0.1-1 = 1.161232 * 0.1
    4^0.1-1 = 1.486984 * 0.1  (변화율을 보려고 10을 곱한 값을 쓰고 0.1 당 변화량을 구함)

앞의 두 예에서 지수값 증가하는 것이 1일 때랑 0.1일 때의 예를 들었다. 마찬가지로 100분의 1로 늘어날 때랑 1000분의 1, 만분의 1로 할 때도 마찬가지 특성을 가진다는 것을 이해해야 한다. 지수함수라는 것은 지수가 원하는 값까지 증가할 때까지 조금씩 증가율을 높이면서 값을 더해나가는 것이다. 증가율은 밑에 비례한다. ( 밑이 자연상수 e : 2.71828... 이면 증가율 1에서 시작함. )

여기까지 이해하기 쉽지 않았을 것이다. 이제 마지막 계산으로 일반화 해보자. 

여기 e^x 라는 자연상수를 밑으로 하는 지수함수가 있다. e^1의 값을 구하고 싶다. 우리는 지수함수의 시작점을 알고 있다. 모든 지수함수의 지수 0의 값은 1이다. 여기서 시작할 수 있다. 시작은 1이다. 여기서 변화율이 1인 것도 알고 있다. ( 자연상수가 그렇게 정해진 것이다. ) 

이제 제수를 아주 조금 Δ 늘린다. 이렇게 1까지 계속 가려고 한다. 맨처음 곱하기 2놀이랑 비슷하다. 지금은 삼각형 기호가 상징하는 아주 작은 값을 1이 될 때까지 늘려가는 것이 다를 뿐이다. ( 이 삼각형은 그리스 알파벳에서 온 것이다. 델타라고 읽는다. )

e^0 = 1 에서 변화율이 1이고 x가 0에서 델타 늘어났으니까 여기서 e^Δ 값은 1+1*Δ 가 된다. ( 1+Δ ) 

이제 지수를 델타 더 늘려보자. (e^2Δ) 이제 지수함수의 특성에 따라 변화율이 1+Δ 가 되었으니까 1+Δ + (1+Δ)*Δ 가 된다. ( 값 더하기 늘어난 변화율*간격 ) 

이것을 정리하면 (1+Δ)^2 이다. 

다음 번은 (1+Δ)^3 이다. 

e^1 값을 얻기 위해서 지수에 Δ 더하기를 몇 번 더해야 할까?  그렇다 1/Δ 해야 한다. ( 델타를 0.001 했다면 1000 번하면 1이 된다. ) 이렇게 지수에 Δ를 1/Δ 횟수 더하는 것은 (1+Δ)를 1/Δ 횟수 만큼 거듭제곱하는 것과 같음을 보였다. 이렇게 해서 자연상수를 구하는 공식을 알게 되었다. 

x = 0 에서 기울기가 1이 되는 지수함수를 x=1 에서 구해 보면 밑이 나오는 데 그 값은 (1+Δ)^(1/Δ) 값이다. 단 델타 값에 작은 값을 넣을수록 정확하게 구할 수 있다.

자연상수와 지수함수의 특징을 이해하기 쉽게 하려고 최대한 풀어서 적어 보았다. 곰곰하게 따라왔다면 서양 수학 수백년 역사를 압축해서 이해한 것이다. 내노라 하는 수학자와 물리학자들이 로그함수 (지수함수의 역함수)로 시작해서 자연상수를 지나서 미적분까지 연결하였다.

과정을 완벽히 이해하지 못하였더라도 결론을 추리고 써먹을 수 있다. 수학이라는 것이 그런 점에서 좋다. ( 사실 수학이라기 보다는 공학에 가깝지만...  이전 글에서 상식에 익숙해 지는 것이라고 할까... )

여기에 결론이 있다.

지수함수 e^x 는 함수의 변화율이 함수 값과 같은 함수 이다. 시작점은 x=0 일 때 1 이다.
  시작점 : e^0=1  ( 밑이 e 인 지수함수의 시작점 증가률 =1,  자연상수 e의 정의 )

다음 특성을 가진다. (곱하기 세상을 더하기 세상으로 바꿀 수 있다.)
  e^(a+b)=e^a * e^b  : 지수의 덧셈은 지수함수의 곱셈
 
풀어 쓰자면 지수가 정수일 때는 거듭제곱하면 되고 지수가 실수일 때는 조금씩 가면서 양이 늘어난만큼을 더하면서 원하는 값까지 늘려나가면 된다.

시간이 흐르고 양이 변화 특성을 결정짓는 물리현상에 지수함수는 너무나 자연스러운 함수이다. 폭발적인 성장, 에너지의 손실 등을 수학모델 하는데 항상 나타난다. 양(量)이 양의 변화특성을 결정짓는다는 것은 매우 중요한 특징인데 자연계를 다룰 때 많이 나타나게 된다. *5

수학의 아름다운 점은 이렇게 복잡한 사고를 하나의 수식, 하나의 정의로 깔끔하게 결론내고 그 다음에는 믿고 사용하면 된다는 것이다. 마치 복잡한 코딩을 하고 데이터를 구조화 해서 모아 놓으면 그 다음에는 직관적으로 동작하는 컴퓨터 프로그램처럼 말이다. 수학을 이해하는 것은 코딩을 배우는 것과 비슷하다. 문법과 함수를 이해하면 복잡한 사고를 직관적으로 해치울 수 있다.

이제 여태껏 지나 온 길을 뒤돌아보자.
   (1) "숫자"라는 달을 가리키는 손가락을 알았다.
   (2) "더하기"와 "곱하기" 연산을 눈금직선의 "이동"과 "확대"에 비유했다.
   (3) 변화량이 크기에 비례하는 지수함수를 알게 되었다.

처음 목적을 기억해 보자. 복소수라는 것이 있어서 그것을 이 지수함수의 지수에 넣는 것을 직관적으로 이해하고 싶다는 것이다.

이제 마음속의 숫자 세상을 1차원에서 2차원으로 확장 할 때이다. 1차원에서 직선을 만났다면 2차원에서는 무엇을 만나게 될까?


(각주)
* ( 처음에 2가 있는 것을 1번 한 것으로 치면 9번째가 10번째가 된다.)
** ( 24 우수리는 떼고 생각하자. 1에서 시작해서 두 배씩 10번 하면 1000, 혹은 1 k )
*** 밑이 2 인 것이 1, 2, 4, ... 이다. ( 2^n, n=1,2,3... ) 구글 그래프를 쓰면 2^x
    밑이 3인 것을 같이 그려보자. 2^x, 3^x,  3^10은 자그마치 60,000 이나 된다.
**** 1*x, 2*x 를 구글그래프로 그려보자. 직선이 나온다. 각각의 기울기가 1, 2 이다.

*5 지수함수의 예
1) 지수함수의 특징은 늘어나는 정도가 지수가 커질 수록 커진다는 것이다. 정의 자체가 밑을 곱하는 횟수니까 그렇다. 매일 두개로 분열하는 세포가 있다면 10일 후에는 1개가 1024개로 분열된다. 그 다음날에는 하루에 1000개가 더 생기게 된다. ( 10일에는 하루에 1000개 증가) 그러면 20일 후에는 하루에 몇개가 더 생길까? ( 답은 백만개 ) 그런 의미에서 지수함수를 성장함수라고 부르기도 한다.

2) 지수함수를 소개할 때 복리 문제를 많이 이야기 하기도 한다. 1년에 1% 이자를 주는 상황이라면 내가 맡겨 놓은 돈이 매년 1.01배로 불어나는 것이다. 10년이 지나면 내 돈에 1.01을 10번 곱한 만큼 내 돈이 늘어나 있다. ( google에 1.01^10=? 이라고 검색해 보시라.)

3) 2020년 우리는 코로나 대유행 사태를 겪고 있다. 전염된 사람이 1.5 명을 전염시키는 정도의 방역 수준이라면 3차 감염 상태에서 1.5^3 = 3.38 규모의 감염자가 추가된다. 100명의 확진자가 격리되지 않아 3차 감염까지 발생시켰다면 338명의 추가 감염되어 있을 수 있다.

4) 지수에 음수를 넣을 수도 있다. 베이스(밑)를 역수로 하고 곱하라는 뜻이다. 2^(-n) 은 (1/2)^n 이다. 물리적으로 이해하기 좋은 비유는 반으로 나누는 것을 n번 하라는 것이다.
물리적으로 감쇄하는 시스템에 많이 등장한다. ( 도선 감쇄, 마찰 저항에 의한 속도 저하,...)

- 많은 예를 들면서 설명했는데 어떤 공통점을 눈치 챘는지? 그것은 바로 변화하는 것을 표현하기에 지수함수가 적합하다는 것이다.

직관적으로 이해하는 지수함수(2) - 단위와 지도앱, 곱하기는 직선을 늘이고 줄이는 것

지난 번에 "실수체계"를 [방향을 가진 눈금자]에 비유하였다.
눈금자는 같은 간격으로 나눌 수 있다. 어딘가에 원점을 정할 수 있다.
원점에서 1, 2, 3, ... 같이 같은 간격에 숫자를 적어 넣을 수 있다.

이제 곱하기를 생각해 보자.
2가 쓰여져 있는 위치는 1이 쓰여져 있는 위치까지 거리의 2배이다.
왜냐고? 그렇게 눈금을 나누었으니까. (같은 간격)
그러면 100이 쓰여 있는 위치의 원점으로부터의 거리는 1이 쓰여져 있는 위치의 거리의 몇 배일까? 100배. 곱하기의 느낌이 오는가? 단위 길이에 눈금에 적혀있는 수치를 곱하면 눈금까지의 길이가 된다. ( 거리, 길이는 우리가 직관적으로 느끼는 물리양이다. )

이제 1이라는 숫자를 2의 위치에 적어보자 그러면 2는 어디에 적힐까?
앞에서 눈금을 이용해서 거리, 길이를 계산했다면 이제는 숫자를 바꾸어 적는 것이다.
추상적으로 말하자면 마음 속 눈금 직선을 늘리고 줄이는 것이다.
1위치에 2라고 적히는 눈금직선은 절반으로 압축한 것이고
10에 1이라고 적히는 눈금직선은 10배로 잡아 늘린 것이다.
(구글맵 wheel-in, wheel-out 혹은 zoom-in, zoom-out)

1.5배, 60%, 2의 제곱근, 모든 숫자를 등분한 직선 위에 점으로 표현할 수 있다.
유리수, 무리수, 혹은 생각할 수 있는 모든 숫자를 이 선위에 점찍을 수 있다. (수학에서는 실수라고 한다.)
여기 나오는 기호나 어려운 수학 분류 이름을 잘 몰라도 상관없다. 숫자를 직선위의 점으로 나타낸다는 것만 알면 된다. 숫자를 찍는 약속을 기억하면 된다. 숫자의 크기만큼 1의 길이에 곱한 길이만큼 떨어진 위치에 점을 찍는다.

그러면 -1 배 한다는 것은 어떻게 약속할까? 반대방향으로 생각하는 것이 자연스럽다.
우리가 마음속에 그리고 있는 직선에 양의 방향을 정해 놓았으므로 반대 방향을 음의 방향으로 생각하면 된다. (빈 종이에 직선을 그린다. 오른쪽에 화살표를 그려 넣고 + 기호를, 왼편에 - 기호를 써 넣는다.)

지난 번 글에서 점이 움직이는 것으로 더하기 빼기를 해 보았다. 3칸 오른쪽으로 갔다가 왼쪽으로 2칸 갔다가 다시 1칸 오른쪽으로 갔다. 이 세번의 과정을 하고나면 2칸 오른쪽으로 간 것과 갔다. 혹은 눈금자를 내가 있는 곳에 위치시키고 왼쪽으로 3칸 보내고 오른쪽으로 2칸 보내고 다시 왼쪽으로 1칸 보낸 후에 내가 있는 곳의 눈금을 읽으면 2가 된다.

이것을 곱하기로 바꾸어 보면 1칸을 쪼개서 2 작은 칸으로 만들면 내가 있는 곳은 6 작은 칸이다. 왼쪽으로 4작은칸(2칸) 갔다가 오른쪽으로 2작은칸(1칸) 가면 내가 있는 곳은 4작은칸이다. 혹은 눈금자(2배 촘촘히 눈금이 매겨져 있는)를 6눈금 - 4눈금 + 2눈금 움직 움직하면 내위치에 4눈금이 와있게 된다.

말로하면 이렇게 복잡하다. 더구나 숫자가 커지거나 읽기 어려운 기호가 들어가 있거나 하면 머리가 아파진다. 그러니 더하기 빼기를 하면 결과를 그냥 얻을 수 있다. 사실 지도앱에서 마우스를 이용해 이동하거나 확대 축소하는 작업을 하면 컴퓨터는 숫자로 바꾸어 열심히 더하기 빼기를 하고 있는 것이다. 컴퓨터 코딩한다는 것은 이런 숫자를 다루고 입출력을 거기에 맞추도록 하는 작업을 지시하는 것이다.

무슨 말을 하고자 하는 것이냐 하면 곱하기를 자의 눈금을 정하는 약속으로도 생각할 수 있다는 것이다. 드디어 단위를 가지고 추상 실선이 숫자를 벗어나 내가 보고 느끼는 자연 세계를 가리키게 되었다. 앞개울과 뒷동산을 오가는 철수는 눈금(단위)을 자기의 걸음폭으로 하는 것이 쉬울 것이다. 먼 거리를 생각한다면 km 단위를 1로 하면 될 것이다. 종이 위에 그림을 그리는 사람은 1 cm를 단위로 하면 편할 것이다. 혹시 태양계에 대해서 사고하는 사람이 있다면 지구-태양 거리를 기준단위 (AU : 백만km의 약 150배)로 하여 혼자 상상하거나 다른 천문학자와 이야기를 나눌 것이다.

이제 거리(길이)라는 물리량을 추상세계에서 단위를 가진 실선으로 상상할 수 있게 되었다.
여기서 더하기 빼기, 곱하기, 나누기를 하면 길이 혹은 거리를 다룰 수 있게 되었다.

여기서 다음의 자연스러운 물음이 생겨난다. 직선이 아닌 경우는 어떨까? 실제 세상은 3차원 공간이다. 내가 평면 위에 곡선을 그리고 길이를 등분하는 눈금을 적어 놓은 후 실수를 대입해도 위의 특성을 표현할 수 있다. 모든 실수는 곡선위의 점으로 표현된다. 점의 위치는 단위길이에 실수 값을 곱한 길이만큼 떨어져 있다. 기차 비유를 들어보자. 기차는 기찻길로만 다닐 수 있다는 제약이 있다. 통일된 한반도에서 철수가 기차를 타고 서울에서 평양까지 간다면 직선거리는 195 km 이지만  기찻길을 따라 250 km 를 구불구불 이동하여야 한다. 기차상에서 문산역, 개성역, 평강역, 사리원역, 평양역은 각 철도 길이만큼 서울역에서 떨어져 있을 것이다. (문산 10 km, 개성 50 km, ... )

하지만 직선으로 만들고 눈금을 같은 간격으로 나누는 것이 일반적으로 위치를 표현하기에 더 편리하다. 기차를 타고 가는 사람에게만 휘어져 있는 실선이 편리하다. 일반적으로 편리한 것이 훨씬 쓸모가 많다. 쓸모가 많은 것이 기초가 되고 자연스러워 지고, 점점 많은 사람에게 익숙해지면서 공통의 언어가 된다. 상식이 되는 것이다. 그래서 우리는 그 상식을 학교에서 열심히 배운다. 달을 가리키는 손가락에 대해서 외우고 시험치고 그러는 거다. 그렇게 해서 상식에 편안해져서 다른 사람과 쉽게 같은 달을 이야기 할 수 있고, 세상의 정보를 이용해서 현명하게 같이 살아가려고...

이번 글을 정리하자면 "추상공간의 등간격 눈금직선으로 실수를 표현하였다." 이것을 움직이고 수축, 팽창 시키는 것이 더하기 곱하기 하는 사칙연산을 시각화하는 방법이 되는 것을 알았다. 여기서 눈금을 "직선에 같은 간격"으로 매겼다는 것이 더하기에 대해서 적절한(편리한) 약속이라는 것이 중요하다. 곰곰히 생각해 보기 바란다. (곱하기는? 곱하기는 여러 번 더한다는 의미)

이것이 머릿속에서 소화되었다면 다음 단계로 넘어갈 준비가 되었다. 드디어 지수함수를 이야기 할 때가 되었다. 곱하는 것이 여러 번 더하는 것이라면 여러 번 곱하는 것은 무엇이라고 부를까? 여기서 외워야 할 것이 나온다. 밑을 여러 번 곱하는 것을 지수승 한다라고 한다. 이번 글타래의 맨 처음에 나왔던 것이다.

이 말이 익숙해 지는 것과 지수에 여러가지 실수를 넣는 것의 의미를 깨치는 것은 큰 차이가 있다. (지수영역을 실수체계로 확장) 다시 말하지만 이 글의 목적은 지수에 복소수를 넣는 것의 의미를 아는 것이다. 마음 속의 눈금 직선을 가지고 실수를 포함하는 지수함수를 다루어 보자.

직관적으로 이해하는 지수함수(1) - 손가락과 달, 화살표를 가진 직선은 어떻게 실수체계를 가리키고 있는 가?

지수함수는 처음 배울 때 곱하기를 몇 번 한다고 배운다.
예를 들면 2의 3승은 2를 세 번 곱하라는 것이다.
여기서 2는 밑(베이스)라고 하고 3은 지수라고 한다.

그런데 지수를 실수로 확장하거나 허수로 확장해서 생각하면 완전히 새로운 직관을 얻을 수 있다.  이번 글은 찬찬히 이 과정을 따라가 보는 것을 목적으로 한다. 일단 경고해 두어야 할 것이 있다. 새로운 직관을 얻는 것은 결코 쉽게 이루어 지지 않는다. 머릿속에 새로운 네트워크를 형성하는 일이다. 하지만 새로운 시각을 얻게 되면 그 쓸모가 무궁무진하다. 특히 지수함수는 물리학의 바탕이 된 운동역학과 밀접하게 연결되어 있다. 이 직관을 얻으면 고등학교까지의 수학과 물리의 절반은 땅집고 헤엄치기 수준으로 해결할 수 있게 된다.

숫자의 심상으로 시작해 보자
숫자는 무엇인가? 무언가를 세는 기호이다. 아라비아에서 제일 먼저 기원하였다고 한다.1)
심상이란 무엇인가? 머릿속에 추상화된 이미지가 떠올라야 심상이다. 떠오르는 것에 숫자라는 이름을 붙이면 머릿 속에 객체가 생긴다. 이제 하나, 둘, 셋 세기 시작하면 심상이 떠오른다.

정치공방을 보면 달을 가리키는 손가락 이야기가 많이 나온다. 손가락을 볼 것인가? 달을 볼 것인가? 한국에서는 사람이 무엇을 셀 때 손가락을 접으면서 센다. 영희가 사과를 손가락으로 세고 있는데 철수는 영희 손톱이 예쁘다고 생각하고 있다면 같은 추상 이미지를 공유하고 있는 것이 아니다.

추상 이미지를 공유하기 위해 기호를 쓴다. 아라비아 숫자 대신 직관적인 비유를 들어보자. 손가락을 접거나, 주판알을 쓰거나, 혹은 길고 짧을 것을 잴 수 있는 자(scale)를 이용해서 줄을 그어서 그 길이를 기호라고 할 수 있다. (달이 아닌 양을 가리키는 손가락 혹은 기호)

기호는 기억하는 데 큰 도움이 된다. 혹은 마음속에 떠올랐다가 사라져 버리는 심상에 뿌리를 내리게 도와준 다고 할까? 

옛말에 흐린 필체가 명석한 두뇌보다 낫다라는 말이 있다. 기억은 잊어버리거나 자기편한대로 바뀌어 버리는 반면 기호로 고정되면 꽤 오랫동안 거기 그 자리에 다시 불러오기 쉽다.  

기호를 다루는 위해 계산하는 방법이 하나씩 생겨난다. 손가락을 접는 것으로 더하기를 할 수 있게 된다. 주판알을 올리고 내려서 큰 수를 실수하지 않고 더할 수 있게 된다. 자를 이용해서 선을 덧그리고 전체 길이를 재게 되면 더하기가 된다.

어떤 깨인 원시인이 손가락으로 더하기만 하다가 빼기를 할 수 있게 된다. 손가락을 접는 것이 더하는 것이었다면 손가락을 펴는 것으로 빼기를 하면 된다라는 것을 깨달은 것이다. 접고 펴다가 결국 졉혀져 남아있는 손가락을 보면 답을 알게 된다. 주판알을 이용할 때는 알을 올리는 것은 더하는 것이고 내리는 것은 빼는 것이다. 선을 그릴 때 오른쪽으로 그리면 더하는 것이고 왼쪽으로 그리면 빼는 것이다.

재미난 것은 심상의 기호를 다루기 위해 계산 도구를 만들어 사용하기 시작하는 순간 그 도구가 만드는 세상에 빠져든다는 것이다. 도구 자체가 세상을 창발한다고 할까? 혹은 도구를 쓰는 비유적인 말세상이 만들어 지기 시작한다. 우리가 머릿속 신경망에 들어가 본다면 도구가 만든 세상을 그려서 여러 사람이 돌려 보면서 품평 할 수 일을까? (이것을 가치관이라고 할 수 도 있고 우주론이라고 할 수 있을까?)

손가락과 주판알은 이제 접어서 한켠으로 치워 버리고 눈금자로 그린 선이 만드는 세상에 집중해 보자. 

처음에 수의 심상으로 시작하였다. 

눈금선으로 이제 1차원 세상이 머릿속에 펼쳐져 있다. 

여기서 더하기 빼기가 눈금선 위를 걸어가는 것으로 상상할 수 있다. 선세상에서 한걸음 폭으로 눈금을 매겨 놓자. 집이라고 할 수 있는 기준점도 정하자. 

하나 더 필요한 것이 있다. 방향이다. 같은 세걸음이라도 앞으로 뒤로 갈 수 있다.

너무 수학적인 세상이라 머리가 아파올 수 있으니 우리 친구 철수의 도움을 받도록 하자. 철수가 집을 나와서 길을 따라 10걸음을 걸으면 어디에 있는가? 잠깐 집에서 길이 앞개울 쪽으로 향하고 있는데 철수가 개울 반대편에 있는 뒷동산을 향해 걸었다면 ? 그렇다 집을 원점이라고 하고 길에 방향을 정해 두어야 철수가 걸어간 위치를 알 수 있다. 그래서 길에는 화살표로 이정표를 두고 있다. 방향을 가리키려고. ( 빈 종이에 집과 앞개울, 뒷동산, 철수를 그려보자. 여기에 직선이 있다. 원점, 방향, 눈금 있다. 눈금들은 같은 간격이다. -1, 0, 1, 2 숫자들이 눈금마다 쓰여있다.)

자 달을 가리키는 손가락에 대해서 자세히 이야기 했다. 여기서 달만 추려서 심상을 만들 수 있는가? 철수도 없고 집도 없고 앞개울, 뒷동산, 이정표, 걸음 눈금도 없다. 기준점에서 방향을 가진 직선이 있고 각점은 기준점에서의 거리에 해당하는 숫자를 상징한다. 기준점에서 양의 방향에 있는 점은 숫자 앞에 양의 기호(+)를 붙여주고 음의 방향에 있는 점은 숫자 앞에 음의 기호(-)를 붙여 준다.

최대한 간단히 만들고 필요할 때 추가로 그릴 수 있다. 마음속에 있는 눈금자의 장점이다.

원점에서 선을 긋고 끝에 화살표를 그린다. 눈금은 원점에서 떨어진 곳에 하나만 그린다. 쓰지 않았지만 기억할 것은 원점에 0 이 있고 눈금에 1이 있다는 것이다. (다른 숫자는 이 눈금에 더하기 빼기 곱하기 나누기 해서 찾아갈 수 있다. )

이제 마음 속에 눈금선 세상을 만들었다. 이런 기호의 정의가 수학의 시작이다. 이 손가락(눈금직선)은 실수체계를 가리킨다. (독자들이여, 항상 손가락을 이용해서 달을 보려고 노력해야 한다. 달을 서로 이야기 하도록 해야 한다. 이해한다는 것은 자신의 달을 자신의 머릿속에 품고 있어야 비로소 가능하다.)

이 실수체계라는 달 ( 원점과 방향을 가진 눈금 직선으로 그려볼 수 있는 )을 가지고 어떤 일을 할 수 있을까? 일단 더하기와 빼기. +3-2+1은?

철수의 걸음 비유로 내려가 보면 시작을 집에서 했다고 할 수 있으니까 이렇게 해보자 0+3-2+1 ( 철수가 집에서 앞개울로 3걸음, 뒷동산으로 2걸음, 다시 앞개울로 1걸음 걸었다. ) 우리가 철수의 움직임을 관찰하면 철수는 결국 앞개울로 2걸음 위치에 있는 것을 그려볼 수 있다.

두번째 해 볼 것은 철수가 집으로 돌아오기 위한 방법이다. 지금 철수가 2걸음 앞개울로 왔다. 집으로 가려면 ? 그렇다. 뒷동산으로 2걸음 가면 집에 도착할 수 있다. 이렇게 다음 식을 철수 걸음 비유로 풀어서 이야기 할 수 있다.

 0+2+x = 0 ==>  x=-2 ( 집에 가려면 뒷동산으로 2걸음 간다 )

드디어 0 도 나오고 빼기도 나온다. 축하한다. 집으로 돌아가는 방법을 알아냈으니.


그 다음에 해보는 것이 정말로 어려운 것이다. 세상을 뒤집는 충격을 받지 않는다면 수학의 세계에 필요한 추상 사고에 벌써 많이 익숙한 것이다.

눈금선은 마음대로 움직일 수 있다. 철수집, 앞개울, 뒷동산은 쉽게 움직이지 못하지만 눈금은 마음만 먹으면 마구 움직일 수 있다. 원점을 지금 있는 위치로 옮기자. 어떻게? 종이 위에서 자를 옮기듯 옮기면 된다. 자의 원점을 철수 있는 위치로 옮겨오자. 그리고 집이 있는 위치를 눈금에서 읽어보자. 집이 있는 위치는 -2 이다. 철수 위치에서 집은 -2 이다. 원점을 옮겨서 값을 찾을 수 있다. 집에 가는 법을 알고 싶다면 원점을 내 위치로 옮기고 집의 위치를 좌표에서 읽으면 된다.

2+x=0 ==> 2+x-2 = -2  ==> x = -2
( 눈금선의 원점을 내 있는 위치로 옮겼더니 가고자 하는 위치(집)가 눈금에 써있음 )

어떤가 똑값은 2+x=0 이라는 방정식을 푸는 과정을 다른 식으로 읽어 낼 수 있다. 코페르니쿠스의 지동설 만큼의 충격을 받았는가? 이 원점을 옮겨서 답을 찾는 (좌표 변환) 느낌을 가지는 것이 수학에서 아주 중요한 첫 걸음이다. 미지수 x를 포함한 숫자(실수) 여러 개의 더하기 빼기 식을 만들고 미지수 x를 찾아가는 과정을 눈금선 이동으로 풀어 보는 놀이를 해보기 바란다. 머리에 쥐가 날 수 있지만 그것이 제대로 된 심상을 만드는 과정이다. ( 새, 알 깨짐, 세계, 아프락사스 - 헤세, 데미안 )

다음 글에서 곱하기를 이 눈금선 손가락에 녹여내 볼 것이다.

첨언하자면 최종 목적지를 기억하고 있는 것이 필요하다. 글 시작하면서 했던 이 이야기의 목적이 기억 나는 지? 그렇다 지수함수에서 지수를 자연수가 아니라 복소수로 확장하여 물리세상을 보는 직관을 얻는 것이다. 2천년 수학의 역사를 하나 하나 녹여나가면서 마음속의 심상을 발전시켜 나가보자.