AB를 밑변으로 하는 삼각형을 볼 때 세 꼭지점의 복소표현은 다음과 같다.
A점 : 0
B점 : c ( AB 선분의 길이, 각C의 대변 )
C점 : b*e^iα ( 각B의 대변길이가 각A 만큼 회전 )
C점을 기준으로 바라본 B의 복소표현은 a*e^-β 이다.
( 각A의 대변길이가 각B 만큼 음의 방향으로 회전 )
그러므로 b*e^iα+a*e^-β 복소수의 절대값 제곱은 c의 제곱과 같다.
복소수의 절대값 제곱은 켤레를 곱하여 구할 수 있다.
등식을 쓰면
c^2 = (b*e^iα+a*e^-β) * (b*e^i-α+a*e^β)
= b^2 + ab*e^i(α+β)+ab*e^-i(α+β)+a^2
= a^2+b^2+ab*( e^i(π-γ) + e^-i(π-γ) ) : 삼각형 내각합 α+β+γ = π 이용
세번째 항을 정리하면 e^iπ*(e^iγ + e^-iγ) 로 -2*cosγ 가 된다. (오일러 공식 이용)
그러므로 c^2 = a^2 + b^2 -2ab*cosγ
이 식은 피타고라스 정리와 유사한데, γ가 직각이면 ab 항이 사라지기 때문이다.
( cos(π/2) =0 이용)
* A에서 B로 가는데 직선 길이 c 라고 하고 어떤 점 C 를 찍고 가는 거리를 b, a 라고 할 수 있다. 이때 각 α, β, γ 가 정해지고, c = b*e^iα+a*e^-β 항등식이 성립된다.
여기서 삼각형 내각의 합이 π로 일정함을 이용해서 코사인법칙이 유도 가능하다.
또한 위 항등식에서 허수항이 0이 되는 조건이 바로 사인법칙이다.
b*sinα=a*sinβ
**사인법칙과 코사인 법칙을 일반해서 정리하면
한점에서 다른점으로 바로 가는 것과 다른 점을 들러가는 것을 비교할 수 있다.
코사인법칙은 평행 성분의 합이 직선 길이인 특성의 표현이고
사인법칙은 수직 성분이 상쇄되는 특성의 표현이다.
복소평면에서 복소표현을 사용하면 c = b*e^iα+a*e^-β 이므로
우변의 실수항이 c ( 코사인법칙 ), 허수항이 0 ( 사인법칙 ) 이 자명하다.
코사인법칙을 삼각법에 나오는 꼴로 쓰려면 켤레곱을 이용하여 정리하고
싸인법칙을 확장하려면 외접원을 그려서 중심각과 원호각의 관계를 파악한다.
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