우리가 고등학교에서 복소수를 배울 때 켤레 복소수를 정의한다. 중요한 특징은 어떤 복소수의 켤레복소수를 구하고 둘을 곱하면 복소수의 크기의 제곱값(실수)가 나온다는 것이다. 이를 증명하는 방법은 i^2 = -1, 피타고라스의 정리를 이용한다.
수학적으로 적어보면 아래와 같다.
Z = a + i*b
켤레(Z) = a - i*b
Z * 켤레(Z) = (a+i*b)*(a-i*b)
= a^2 + b^2 여기서 넘어갈 때 i^2 이용
= {절대값(Z)}^2 여기서 넘어갈 때 피타고라스 정리 이용
다른 방법으로 이 특징을 살펴보자.
지수함수를 이용해 극좌표 형태로 복소수를 표현할 수 있다.
Z = r * e^(i*θ) : 단위점 ( 1 ) 을 θ 회전 시키고 크기 r을 곱한다.
다음 질문을 해보자.
어떤 복소수가 있을 때 좌표계를 어떻게 회전시키면 실수로 표현될까?
직선상에서 철수가 3 걸어간 것은 원점이 -3에 있는 것과 같다고 말했다.
철수가 걸어간 것이 아니라 원점이 -3 이동하고 좌표를 읽는 것과 같다.
원점이 -3에 있으니 원점으로 돌아가는 방법은 -3을 더하는 것이다.
복소수가 e^iθ 방향을 가리키고 있다는 것은 + 방향을 -θ로 보냈다는 의미이고 복소수를 실수로 만들기 위해서는 -θ 방향에에 해당하는 e^-iθ 를 곱해야 하는 것과 같다. 앞의 더하기 예와 유사성을 느낄 수 있는가?
앞에서는 원점에 대해서 더하는 문제였다. 복소수의 회전은 실수 단위점에서 원주 상에서 거리를 지수함수로 만들어 곱하는 문제가 된다.
혹은 θ 회전시켰으면 반대 방향으로 θ 회전 시키면 회전이 상쇄된다고 이해할 수 있다.
e^iθ * e^-iθ = 1
살펴보면 θ에 음의 부호를 붙이는 것이니까 오일러공식에서 허수부에 - 부호를 붙이는 것과 같다.
켤레복소수를 얻기 위해서 허수부에 - 부호를 붙인다 라고 외울 수 도 있고
실수부를 얻기 위해서 좌표를 회전시키기 위해서 e^-iθ 를 곱한다고 할 수도 있다.
그런데 이것을 곱하면 허수부에만 -를 붙이는 것과 결과가 같다.
켤레복소수는 극좌표계에서는 반대방향 θ 회전으로 정의하자.
그러면 복소수와 켤레의 두 곱은 회전 없이 크기의 제곱이 된다.
직교좌표계에서 해석하면 두 벡터는 실수부는 같고 허수부는 반대 부호가 된다.
복소수를 다룰 때 기하적인 성질이 복소 사칙연산으로 된다는 것이 포인트 이다.
방향을 바꾸는 것, 각도를 더하고 빼는 것이 길이가 1인 e^iθ 를 곱하고 나누는 것으로 표현된다는 것이 키이다.
90도 각을 돌리고 싶다면 e^i*pi/2 를 곱하자. 아 이것은 i 이므로 i를 곱하면 90도 회전이 된다.
두 성분의 사이 각도를 계산하고자 한다면 나누면 된다. 단 더 왼쪽에 있는 것을 상대적으로 오른쪽에 있는 것으로 나누자. ( 반대로 하면 음의 각도가 나온다. )
이를 이용해서 삼각형의 내각합을 구해보자. 벡터1, 벡터2, 벡터3 이 있고 삼각형을 이룬다.
벡터1과 벡터2 벡터3이 꼬리와 머리가 이어져서 원점에 돌아온다.
1. 벡터1과 벡터2 각도차를 표현하는 지수함수 : (1 방향을 표현하는 지수함수) / (2 방.지.)
2. 벡터2와 벡터3 각도차를 표현하는 지수함수 : (2 방.지.) / (3 방.지.)
3. 벡터3과 벡터1 각도차를 표현하는 지수함수 : (3 방.비.) / (1 방.지.)
세 각의 합을 표현하는 지수함수는 위 세가지 지수함수의 곱이다. : 서로 약분되고 -1 남음
그러므로 세각의 합은 180도, Pi 이다. ( 지수함수에 어떤 각을 넣으면 -1 이 될까? 오일러 항등식을 기억해 보자. )
삼각형 내각의 합을 복소지수함수의 나누기 곱하기로 표현하였더니 서로 상쇄되어 -1 ( pi 라디안 ) 이 된다.
당신은 기하가 편한가? 대수가 편한가? 편하다기 보다는 마음에 든다고 해야 할 지 모른다. 당신의 취향은 기하 or 대수 ? 나는 기하와 대수의 얽힘이 나를 매혹시킨다.
"켤레" 복소수, 짝꿍 찾기, 구두 한 켤레 할 때의 켤레.. 켤레는 어디서 온 말일까요?
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