이등변 삼각형 문제, 두변이 같으면 두 빗각이 같음의 증명, 기하학적으로 혹은 대수적으로

기하학적으로 이등변 삼각형에 관련된 증명을 하는 것은 중학교에 많이 나온다.
바닥에 놓고 꼭지점을 반으로 가르는 수직선을 그리면 이등변 삼각형이 절반으로 나뉜다.
좌우 대칭인 두개가 나오니까 여러가지 증명을 할 수 있다.

오늘 해 볼 것은 두 각이 같은 크기를 가진다는 것이다. (이등변 삼각형의 등각 성질)
대칭이므로 등각이다.
기하학에서 자명하게 드러난다.

실제로 증명하려면 두변의 길이가 같고 사잇각이 같으면 같은 삼각형이라는 삼각형의 성질을 알고 있어야 한다.
꼭지점에서 내린 선과 이등변삼각형으로 주어진 조건에서 두변의 길이가 같다는 것이 나오고, 꼭지점에서 내린 선이 꼭지각을 반으로 나누었다는 것에서 사잇각이 같다는 것이 주어졌다. 그러므로 두 삼각형은 같은 삼각형이다. 그러므로 바닥의 두 각은 같다.

이제 이것을 복소평면에서 대수적으로 증명해 보자.
1. 복소평면에서 단위원을 그린다.
2. α각 (호도법 or 라디안)을 가진 점을 찍는다. e^iα ( 단위점에서 호의 좌표가 α 위치)
3. -α각을 가진 점을 찍는다. e^-iα (단위점에서 호의 좌표가 -α 위치)
4. -1, e^iα, e^-iα 세 점으로 이루어진 삼각형을 볼 수 있다.
5. 원점(단위원의 중심)에서 세 점을 각각 잇는 세 화살표를 그린다. 각각의 길이는 1이다.
6. 윗쪽 비스듬한 빗변의 길이는 (1+e^iα)의 길이이다.
7. 아랫쪽 비스듬한 빗변의 길이는 (1+e^-iα)의 길이이다.
8. 위 두 복소수는 서로 켤레 관계이다. 그러므로 두 길이는 같다. 즉 이 삼각형은 이등변 삼각형이다. (어떤 이등변 삼각형도 이 꼴로 만들 수 있다.)

여기서 직관을 발휘해 보자. 대수적으로 두 빗변의 형식은 같다. 단지 호도법 알파 각도를 반대로 돌렸을 뿐이다. 모든 성질은 같을 수 밖에 없다. 즉 빗변의 길이도 같고 두 각도도 같다. 그래도 대수적으로 증명해 보자.

각도를 표현해 보자.
1. 두 직선의 윗쪽 각은 수직 내려오는 복소수의 각 (-i) 빼기 -(1+e^iα) 이다. 이는 지수함수의 나누기로 표현되는 복소수의 각과 같다.
2. 이에 해당하는 복소수를 대수적으로 계산하면
 -i/-(1+e^iα) = i/(1+e^iα)

3. 아랫쪽 각은 두 복소수 ( -(1+e^-iα) , i ) 의 각이다.
   각을 구하기 위해 두 복소수를 나누어 보면
-(1+e^-iα) / i = i * (1+e^-iα )  ( 1/i = -i 이용 )

이제 두 각이 같음을 보여 보자.

1. 두 복소수를 나누어 보자. 혹은 하나의 역수를 곱해 보자. ( 계산을 간단히 하기 위해 3에 2의 역수를 곱하자)
i * (1+e^-iα ) * [ i/(1+e^iα) ]^(-1) = (1+e^-iα) * (1+e^iα)

2. 이 복소수를 살펴보자. 두 켤레의 곱의 형태로 나온다. 즉 양의 실수가 되었다. 혹은 이 켤레의 곱은 각도 0 을 나타낸다.

3. 두 복소수를 나누어 양의 실수가 나왔다는 것은 두 복소수가 복소평면에서 같은 각도를 이루고 있다는 것과 같다.

4. 그러므로 두 빗변이 이루는 두 각은 같은 각이다. ( 증명 끝 )

어떤가? 대수적으로 증명하는 것이 더 어렵게 느껴지는가?
우리가 기하적으로 직관하는 능력이 우수하기 때문이다.
대수를 많이 다룰수록 대수 직관력이 생길수 있다. 도전해 보고 싶지 않은가?

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추가 노트
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반복적으로 나오는 대수 성질을 직관할 수 있으면 도움이 된다.
1. 두 복소수가 켤레 관계이면 둘을 곱하면 실수가 된다.
2. 두 복소수가 켤레 관계이면 둘을 더하면 실수가 된다.
3. 두 복소수가 켤레 관계이면 둘의 차이 (삼각형)는 순허수가 된다.

혹은 θ 돌린 것과 -θ 돌린 것은 ( 켤레는 ) 실수선에 대해 대칭이다. (서로 길이가 같음)
- 곱하면 길이의 제곱이 되고, 더하면 실수만 남고, 빼면 허수만 남는다. (실수2배, 허수2배)