삼각형의 외심을 찾아서 삼각형의 사인 법칙을 연역해 보기

세점이 있으면 원을 하나 특정할 수 있다.
이 원의 중심을 세점이 이루는 삼각형의 외심이라고 부른다.

일단 외심을 찾는 방법은 다음과 같다.

원의 중심에서 세점까지의 거리가 같는 단서를 이용하면 된다.
중심과 세점을 잇는 직선 세개를 그려보면 이등변 삼각형 3개를 찾을 수 있다.
각각의 이등변 삼각형으로부터 각변의 중심선이 원점에서 만남을 알 수 있다.

즉 세 점이 있어 세 연결된 선을 그리고 각선의 중심선을 그으면 한 점에서 만난다.

그 점에서 원을 그려보면 세점이 하나의 원 위에 있게 된다. (거리가 같다.)

짧게 써보자.

- 점 세개가 있다.
- 원 하나가 나온다.
- 원의 중심이 있다.
- 원의 중심에서 각 점을 잇는 선 3개를 그릴 수 있다.
- 선 3개는 3개의 이등변 삼각형의 중심선(대칭선)이다.

기하학적으로는 위와 같다.

이제 복소지수함수 e^iθ를 이용해서 상황을 보자.
복소평면에서 단위원의 원주상 세 점 ( a, b, c )가 있다. 

각각의 단위점에서의 원주 좌표는 θ1, θ2, θ3 이다.

복소수로 표현하면 e^iθ1, e^iθ2, e^iθ3 이다.

좌표를 회전하여 단위점 1이 a가 되게 할 수 있다.

이제 세 복소수는 (1, e^iα, e^iβ ) 이 되었다. ( α = θ2 - θ1 , β = θ3 - θ1 )

알고 싶은 것은 삼각형의 세각이 어떤 관계를 가지는 가 하는 것이다.

대수적으로 위 세 복소수를 이용하여 각각의 각의 표현을 알아보는 것이 목적이다.

ab 선분은 ( e^iα-1 ) 로 표현되고 ac 선분은 (e^iβ-1) 로 표현된다.

둘 사이의 각은 복소수 나누기가 된다. 

          (e^iα-1)/(e^iβ-1)

분자에 있는 첫번째 괄호를 살펴보자. 

이 복소수는 e^iα/2*(e^iα/2-e^-iα/2) 꼴이 되어  (π/2+α/2) 의 각을 가진다. 

포인트는 켤레복소수의 꼴로 만들어 순허수 i에 해당하는 π/2를 더하는 것이다.

두번째 괄호를 살펴보자. 앞과 마찬가지로 켤레복소수 차의 형태로 만들어 보자.

분모 위치의 복소수는 e^iβ/2*(e^iβ/2-e^-iβ/2) 꼴이 되어 (π/2+β/2) 의 각을 가진다.

우리가 구하고자 하는 복소수는 둘을 나누는 것이므로 두 각의 차 (α-β)/2 에 해당한다.

여기서 뺄 때 π/2 가 상쇄되었다.

회전하기 전의 좌표계로 돌아가기 위해서 α, β 를 θ 로 다시 표현하면 θ1 이 상쇄되고 (θ2 - θ3)/2 만 남는다. 

즉 ab 선분과 ac 선분이 만드는 각a은 ob 선분과 oc 선분이 만드는 각의 절반이다. 

a 의 위치(θ1)에 상관없이 말이다.

이제 각a의 sin 값을 구할 수 있다. a점을 ac 가 o를 통과하도록 이동하여 a' 이라고 하자. 

a'c가 원의 중심을 지나므로 삼각형 a'bc는 직각삼각형이 된다.

 

그러므로 지름을 빗변으로 가지는 직각삼각형에서 

   sin (각a) = sin (각a') =  bc 선분의 길이 / 원의 지름

각b, 각c에서도 마찬가지로 생각할 수 있다.

그러므로 사인법칙이 증명되었다. 

사인법칙

   세 개의 비율 [각변의 길이 / sin ( 그 변이 마주보는 각) ] 은 동일하다.

   그것은 외심을 찾아 그린 원의 지름이다.

* 사인법칙 대수적 증명 3줄 정리

1. 외접원을 그리면 두 점(bc)이 이루는 각 2개 (각boc, 각bac)는 2배의 관계가 있다. 

    (대수적으로 증명함)

2. 다른 한 점(a)을 움직여 지름을 포함하는 직각삼각형으로 만들어 sine 값을 구한다. 

     (a'bc에서 높이/빗변)

3. 세변에 대해 같은 방식으로 sine 값을 구해서 변형하면 사인법칙이 증명된다.