원주위의 한 점과 지름으로 만들어지는 삼각형은 직각삼각형인가?

서양 합리주의의 바탕에는 기하학과 대수학의 통합이 있다고 한다.

복소수 지수함수 ( e^i*θ )를 이용해 기하학 문제를 대수적으로 풀 수 있다.

(기하학 :  https://en.wikipedia.org/wiki/Geometry
 대수학 : https://en.wikipedia.org/wiki/Algebra )

오늘 생각해 볼 문제는 원에 내접하는 삼각형이다.
내접한다는 것은 삼각형의 세 꼭지점이 원주 위에 있다는 것이다.

원이 하나 있고 원주 위에 있는 세점을 정해서 직선으로 이으면 원에 내접하는 삼각형이 생긴다. 이 중에 특별히 한 변이 원의 지름인 삼각형을 따로 생각할 수 있다. 중학교에서 도형의 증명 때 나오는 쉬운 문제 중에 하나이다.

"한 변이 원의 지름인 원에 내접하는 삼각형은 직각삼각형이다."

기억이 나는 사람은 기하학적으로 증명해 보시길.

오늘은 대수적으로 증명해 보고자 한다. 복소평면에 원점에서 단위원을 그린다.
원주 상의 점 하나를 찍는다. 이 점의 위치는 e^i*θ 이다. 이전 오일러공식 글에서 정리했듯이 자연상수 e ( 2.71828 )를 밑(base)로 하는 지수함수의 복소 지수 꼴이다. ( 단위점에서 시작해서 수직인 방향으로 조금씩 방향을 바꾸면서 원주를 따라 원주길이 θ 만큼 떨어진 점. 당연히 θ는 라디언 이라고 불리우는 반바퀴가 π 인 각도 단위 )

우리가 관심있는 삼각형이 대수적으로 3 점으로 표현된다. 1, -1, e^i*θ
여기서 직관이 필요하다. 여기에 e^i*(-θ/2) 를 곱하는 것이다.

곱하면 삼각형은 그대로인데 세 점의 표현만 바뀌게 된다.  ( 원점으로 회전한 것 )

1, -1, e^i*θ  ==> e^i*(-θ/2), -e^i*(-θ/2), e^i*(θ/2)

살펴보면 두 켤레복소수만 나온다. 마지막 (θ/2 회전한 것)과 +- (-θ/2 회전한 것)
이것을 z와 z*라고 부르기로 하자.

1, -1, e^i*θ  ==> z, z*, -z* ( 점 순서를 바꾸었다. )

제일 긴 변 (빗변) 은 2*z*  ( z* - (-z*) 이다. 원의 지름 )
남은 두 변은 각각  (z - z*),  (z + z*) 가 된다.
켤레복소수의 특징인 켤레의 차는 순허수, 켤레의 합은 실수를 이용하자.
두 변은 허수축, 실수축에 평행으로 서로 직각을 이룬다.

어떤가 기하학으로 증명하는 것이 편한가 아니면 대수적으로 증명하는 것이 편한가?
둘이 어떻게 같은 성질을 이야기 하는 지 신기하지 않은가?


(추가) 중간에 좌표를 회전시켜서 단순화 시켰다. 어찌보면 기하적인 트릭을 썼다. 

그냥 대수적으로만 할 수도 있다. 기억할 것은 켤레의 차는 순허수가 된다는 것

세점이 1, -1, e^i*θ 이면 지름이 빗변인 내접 삼각형이 보인다. 

제일 긴 빗변은 실선에 놓여 있다.

원하는 각을 이루는 두 선분은 1+e^i*θ, 1-e^i*θ 로 표현된다. ( 벡터합처럼 조합한다. )

두 변의 각은 두 복소수를 나누어서 (혹은 하나의 켤레를 곱해서) 찾을 수 있다.

(1+e^i*θ)* 켤레(1-e^i*θ ) = (1+e^i*θ)* (1-e^-i*θ )

                                  = e^i*θ - e^-i*θ  ( 대수적으로 켤레의 차로 정리됨 )

그러므로 구하는 각은 순허수가 나타내는 각도이다. ( π/2, 90도, 직각 )