삼각형의 각은 외접원 원호각의 절반
증명하기 위해서 꼭지점을 1에 잡아서 대수정리를 하였다.
하지만 다시 생각해 보니 -1에 두면 더 직관적일 수 있다. 대수식이 더 단순해 지는 것이다.
증명해 보자.
질문) 삼각형 abc가 있고 이의 외접원이 있다. 각c가 원호 ab 각의 절반임을 보여라.
풀이)
1. 복소평면에서 외접원의 중심과 점c가 0, -1 에 위치하도록 좌표계를 잡는다.
2. a는 e^iα, b는 e^-iβ 로 표현할 수 있다. ( ab원호각은 α+β )
3. 선분 ac = 1+e^iα, 선분 bc = 1+e^-iβ 로 표현된다. (벡터 덧셈)
4. 각c는 선분ac와 선분bc가 이루는 각이므로 두 복소수의 나누기 복소수의 각도이다.
5. 나누기 = (1+e^iα)/(1+e^-iβ)
6. 분자의 각 α/2, 분모의 각 -β/2, 그러므로 나누기의 각 α/2+β/2
7. 그런데 (α+β)가 원호각이다.
8. 그러므로 각c는 이 각이 마주보는 외접원 원호의 원호각 절반이 된다.
혹은 점c를 중심으로 단위원을 그리면 이 원호길이는 원호bc 길이의 절반이 된다.
활용) 삼각형 세 꼭지점 중 어느 것을 c로 생각하든 위의 각과 원호각의 관계가 만족된다.
1. 세 각의 합은 π 이다. ( 세 원호각의 합은 2π )
2. 선분bc가 지름이 되면 원호각이 π 이므로 각c는 π/2 즉 직각이 된다. (지름 직각삼각형)
2. 각의 sine 값과 대변의 비율이 일정하다.
( 점을 이동하여 지름이 빗변이 되게하면 sin(각) = 대변길이/외접원지름
혹은 대변길이/sin(각) = 외접원지름 )
위와 같이 외접원 특성이 정리된다.
* 위의 6. 과정에서 부연설명이 필요하다.
1) 1+e^ix = e^ix/2 * ( e^-ix/2 + e^ix/2 ) 로 바꿀 수 있다.
괄호안의 켤레의 합은 실수다.
그러므로 이 복소수의 각은 x/2 이다.
기하학적으로 보면 마름모의 대각선은 꼭지각을 반으로 나눈다는 것과 같은 의미다.
2) 두 복소수의 곱은 단위원에서 해당 원주길이의 합이고
두 복소수의 나누기는 단위원에서 분자원주길이 빼기 분모원주길이 이다.
( + 원주길이는 반시계방향 측정이고 - 원주길이는 시계방향 측정이다. )
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