문1 : 2*2 는 ? 답 : 4
문2 : 4*2 는 ? 답 : 8
문3 : 8*2 는 ? 답 : 16
.
문9 : 512*2 는? ( 9번째 물어 본 것이다.) 답 : 1024 ( 자릿수 4개나 되었다. )
단지 두 배씩 할 뿐이지만 10 번만 하면 1024나 된다*. 11번째는 10번째보다 1000 이나 많은 2000이 된다**. 2에서 시작하는 경우 매 번 늘어나는 정도가 자기의 현재 값 만큼이라 점점 증가하는 폭이 커진다. 클수록 커지는 정도가 빨라진다. 눈덩이 굴리듯 말이다.
이렇게 늘어나는 정도가 자기가 가지고 있는 양에 비례하는 성격을 가진 것을 지수형태로 표현하는데, 시작하는 값을 "밑" 이라고 하고 곱하는 횟수를 "지수"라고 한다. ***
늘어나는 정도가 항상 똑같은 것은 산술증가라고 하는데, 우리의 일상에서 자주 마주친다. 예를 들어 밥을 먹는 것을 따져보자. 하루에 3번씩 먹으니까 열흘 동안 밥 먹은 횟수는 30 이다. 매일 밥수가 3씩 증가한다.
1, 2, 3, ... : 매번 1씩 늘어난다. 변화율 1, 혹은 비례상수 1 ****
2, 4, 6, ... : 매번 2씩 늘어난다. 변화율 2, 혹은 비례상수 2
3, 6, 9, ... : 매번 3씩 늘어난다. 변화율 3, 혹은 비례상수 3
대조적으로 지수형태로 늘어나는 경우는 매번 늘어나는 양이 커진다. 아까 밑이 2인 경우를 들었는데 매번 늘어나는 양을 생각해 보자. (1, 2, 4, 8, ... : 늘어나는 양이 두배씩 된다. )
이것을 수학에서 표시하기로 약속한 것이 지수 함수이다. 밑과 지수로 되어 있다. 밑은 시작하는 1 다음에 오는 첫 번째 값이다. 지수가 정수일 경우에는 여러 번 곱하는 것으로 쉽게 생각할 수 있다. ( 밑이 2 이라면 1, 2, 4, ... 밑이 3 이라면 1, 3, 9, ... 밑 4, => 1, 4, 16, ... )
온 만큼 더 가는 철수가 걸어가는 것으로 비유해서 생각해 보자. 원점에서 1의 위치에 있는 철수가 있다. 처음에는 1온 만큼 1 더 가서 2 만큼 갔다. 원점을 보니 2만큼 떨어져 있다. 다음은 (밑이 2) 온 만큼 2 더 가야 한다. 4에 도착 하였다. 그 다음은 온 만큼 더 가야 하니까 8 까지 간다. 이렇게 10 번 째에는 1000 걸음에 도착한다. 1에서 시작해 3 배만큼씩 하거나 4 배 만큼씩 하는 것은 구글에게 물어보자. ( 3^10 =, 4^10 = )
여기서 재밌는 특성 하나를 보여 주고 싶다. n번째에서 다음 늘어나는 양이 얼마일까 ?
밑이 2 일 때는 2^(n+1) - 2^n = 1*2^n ( 11번째는 10번째 값 만큼 더 늘어남 )
밑이 3 일 때는 3^(n+1) - 3^n = 2*3^n ( 11번째는 10번째 값에 2를 곱한 만큼 + )
밑이 4 일 때는 4^(n+1) - 4^n = 3*4^n ( n+1 번째는 n번째 값에 3을 곱한 만큼 + )
규칙을 발견할 수 있는가? 지수가 1 더해지면 지금 지수승 값에 비례하는 값을 더해야 한다.
비례하는 값은 밑과 관계가 있다. (곰곰히 생각하면 밑을 거듭제곱한다는 말과 같은 말이다.) 밑이 커지면 비례하는 값이 커지는 것을 발견했는 지?
자연수를 지수 위치에 넣어 보았다. 이제 실수를 넣어 보자(일단 양의 실수). 시작점으로 0을 넣으면 언제나 1이라고 약속하자.
밑이 2인 경우에 지수에 0.1을 넣은 것을 상상할 수 있는 지? 앞에서 소개한 특성을 생각해 보자. 조금 증가했을 때 (0에서 0.1) 0일 때의 값에서 조금 더 늘어난다. 지수가 0.2가 되면 지수가 0.1일 때의 값 ( 아까 1에서 조금 늘어난 값 ) 보다 조금 더 늘어난다. 하지만 늘어나는 변화량은 아까 0.1 일 때보다 늘어난다. 이렇게 지수가 1까지 늘어날 때 0.1 당 늘어나는 변화량이 조금씩 늘어난다. 처음 1에서 2가 될 때까지... 구글 검색식에 넣어서 값을 찾을 수 있다. (여기에 값을 쓰지만 직접 구글링으로 계산해 보기를 권한다.)
2^0 = 1
2^0.1 = 1.07177346254 늘어난 양 : 2^0.1-1 = 0.07177346253
2^0.2 = 1.148698355 2^0.2 - 2^0.1 = 0.07692489246
2^0.3 = 1.23114441334 2^0.3 - 2^0.2 = 0.08244605834
2^0.4 = 1.31950791077 2^0.4 - 2^0.3 = 0.08836349742
2^0.5 = 1.41421356237 2^0.5 - 2^0.4 = 0.0947056516
2^0.6 = 1.51571656651 2^0.6 - 2^0.5 = 0.10150300413
2^0.7 = 1.62450479271 2^0.7 - 2^0.6 = 0.1087882262
2^0.8 = 1.74110112659 2^0.8 - 2^0.7 = 0.11659633388
2^0.9 = 1.86606598307 2^0.9 - 2^0.8 = 0.12496485648
2^1 = 2 2^1 - 2^0.9 = 0.13393401692
숫자가 많아서 머리가 아플 수 있다. 늘어나는 숫자가 점점 늘어남을 알면 된다. 소수점 셋째짜리 까지만 4개 써 보겠다. (0.072, 0.077, 0.082, 0.088)
다음에 해볼 것은 늘어난 양을 그 곳 값으로 나누어 보는 것이다. 일정한 값이 나올 것이다.
간략하게 수학식으로 써보자.
{ 2^[(n+1)/10] - 2^[n/10] } / 2^[n/10] = 0.717735/10 ( n 은 0 에서 10까지 자연수 )
지수함수는 항상 이런 식이다. 어떤 점에서의 기울기는 그 곳 값에 비례한다. 비례상수는 밑이 커지면 커지는 관계가 있다. 밑이 2, 3, 4 일 때 비례상수는 다음과 같다. ( n=0 일때 0.1 증가했을 때 변화량 )
2^0.1-1 = 0.717735 * 0.1
3^0.1-1 = 1.161232 * 0.1
4^0.1-1 = 1.486984 * 0.1 (변화율을 보려고 10을 곱한 값을 쓰고 0.1 당 변화량을 구함)
앞의 두 예에서 지수값 증가하는 것이 1일 때랑 0.1일 때의 예를 들었다. 마찬가지로 100분의 1로 늘어날 때랑 1000분의 1, 만분의 1로 할 때도 마찬가지 특성을 가진다는 것을 이해해야 한다. 지수함수라는 것은 지수가 원하는 값까지 증가할 때까지 조금씩 증가율을 높이면서 값을 더해나가는 것이다. 증가율은 밑에 비례한다. ( 밑이 자연상수 e : 2.71828... 이면 증가율 1에서 시작함. )
여기까지 이해하기 쉽지 않았을 것이다. 이제 마지막 계산으로 일반화 해보자.
여기 e^x 라는 자연상수를 밑으로 하는 지수함수가 있다. e^1의 값을 구하고 싶다. 우리는 지수함수의 시작점을 알고 있다. 모든 지수함수의 지수 0의 값은 1이다. 여기서 시작할 수 있다. 시작은 1이다. 여기서 변화율이 1인 것도 알고 있다. ( 자연상수가 그렇게 정해진 것이다. )
이제 제수를 아주 조금 Δ 늘린다. 이렇게 1까지 계속 가려고 한다. 맨처음 곱하기 2놀이랑 비슷하다. 지금은 삼각형 기호가 상징하는 아주 작은 값을 1이 될 때까지 늘려가는 것이 다를 뿐이다. ( 이 삼각형은 그리스 알파벳에서 온 것이다. 델타라고 읽는다. )
e^0 = 1 에서 변화율이 1이고 x가 0에서 델타 늘어났으니까 여기서 e^Δ 값은 1+1*Δ 가 된다. ( 1+Δ )
e^0 = 1 에서 변화율이 1이고 x가 0에서 델타 늘어났으니까 여기서 e^Δ 값은 1+1*Δ 가 된다. ( 1+Δ )
이제 지수를 델타 더 늘려보자. (e^2Δ) 이제 지수함수의 특성에 따라 변화율이 1+Δ 가 되었으니까 1+Δ + (1+Δ)*Δ 가 된다. ( 값 더하기 늘어난 변화율*간격 )
이것을 정리하면 (1+Δ)^2 이다.
다음 번은 (1+Δ)^3 이다.
e^1 값을 얻기 위해서 지수에 Δ 더하기를 몇 번 더해야 할까? 그렇다 1/Δ 해야 한다. ( 델타를 0.001 했다면 1000 번하면 1이 된다. ) 이렇게 지수에 Δ를 1/Δ 횟수 더하는 것은 (1+Δ)를 1/Δ 횟수 만큼 거듭제곱하는 것과 같음을 보였다. 이렇게 해서 자연상수를 구하는 공식을 알게 되었다.
x = 0 에서 기울기가 1이 되는 지수함수를 x=1 에서 구해 보면 밑이 나오는 데 그 값은 (1+Δ)^(1/Δ) 값이다. 단 델타 값에 작은 값을 넣을수록 정확하게 구할 수 있다.
자연상수와 지수함수의 특징을 이해하기 쉽게 하려고 최대한 풀어서 적어 보았다. 곰곰하게 따라왔다면 서양 수학 수백년 역사를 압축해서 이해한 것이다. 내노라 하는 수학자와 물리학자들이 로그함수 (지수함수의 역함수)로 시작해서 자연상수를 지나서 미적분까지 연결하였다.
과정을 완벽히 이해하지 못하였더라도 결론을 추리고 써먹을 수 있다. 수학이라는 것이 그런 점에서 좋다. ( 사실 수학이라기 보다는 공학에 가깝지만... 이전 글에서 상식에 익숙해 지는 것이라고 할까... )
여기에 결론이 있다.
지수함수 e^x 는 함수의 변화율이 함수 값과 같은 함수 이다. 시작점은 x=0 일 때 1 이다.
시작점 : e^0=1 ( 밑이 e 인 지수함수의 시작점 증가률 =1, 자연상수 e의 정의 )
다음 특성을 가진다. (곱하기 세상을 더하기 세상으로 바꿀 수 있다.)
e^(a+b)=e^a * e^b : 지수의 덧셈은 지수함수의 곱셈
풀어 쓰자면 지수가 정수일 때는 거듭제곱하면 되고 지수가 실수일 때는 조금씩 가면서 양이 늘어난만큼을 더하면서 원하는 값까지 늘려나가면 된다.
시간이 흐르고 양이 변화 특성을 결정짓는 물리현상에 지수함수는 너무나 자연스러운 함수이다. 폭발적인 성장, 에너지의 손실 등을 수학모델 하는데 항상 나타난다. 양(量)이 양의 변화특성을 결정짓는다는 것은 매우 중요한 특징인데 자연계를 다룰 때 많이 나타나게 된다. *5
수학의 아름다운 점은 이렇게 복잡한 사고를 하나의 수식, 하나의 정의로 깔끔하게 결론내고 그 다음에는 믿고 사용하면 된다는 것이다. 마치 복잡한 코딩을 하고 데이터를 구조화 해서 모아 놓으면 그 다음에는 직관적으로 동작하는 컴퓨터 프로그램처럼 말이다. 수학을 이해하는 것은 코딩을 배우는 것과 비슷하다. 문법과 함수를 이해하면 복잡한 사고를 직관적으로 해치울 수 있다.
이제 여태껏 지나 온 길을 뒤돌아보자.
(1) "숫자"라는 달을 가리키는 손가락을 알았다.
(2) "더하기"와 "곱하기" 연산을 눈금직선의 "이동"과 "확대"에 비유했다.
(3) 변화량이 크기에 비례하는 지수함수를 알게 되었다.
처음 목적을 기억해 보자. 복소수라는 것이 있어서 그것을 이 지수함수의 지수에 넣는 것을 직관적으로 이해하고 싶다는 것이다.
이제 마음속의 숫자 세상을 1차원에서 2차원으로 확장 할 때이다. 1차원에서 직선을 만났다면 2차원에서는 무엇을 만나게 될까?
(각주)
* ( 처음에 2가 있는 것을 1번 한 것으로 치면 9번째가 10번째가 된다.)
** ( 24 우수리는 떼고 생각하자. 1에서 시작해서 두 배씩 10번 하면 1000, 혹은 1 k )
*** 밑이 2 인 것이 1, 2, 4, ... 이다. ( 2^n, n=1,2,3... ) 구글 그래프를 쓰면 2^x
밑이 3인 것을 같이 그려보자. 2^x, 3^x, 3^10은 자그마치 60,000 이나 된다.
**** 1*x, 2*x 를 구글그래프로 그려보자. 직선이 나온다. 각각의 기울기가 1, 2 이다.
*5 지수함수의 예
1) 지수함수의 특징은 늘어나는 정도가 지수가 커질 수록 커진다는 것이다. 정의 자체가 밑을 곱하는 횟수니까 그렇다. 매일 두개로 분열하는 세포가 있다면 10일 후에는 1개가 1024개로 분열된다. 그 다음날에는 하루에 1000개가 더 생기게 된다. ( 10일에는 하루에 1000개 증가) 그러면 20일 후에는 하루에 몇개가 더 생길까? ( 답은 백만개 ) 그런 의미에서 지수함수를 성장함수라고 부르기도 한다.
2) 지수함수를 소개할 때 복리 문제를 많이 이야기 하기도 한다. 1년에 1% 이자를 주는 상황이라면 내가 맡겨 놓은 돈이 매년 1.01배로 불어나는 것이다. 10년이 지나면 내 돈에 1.01을 10번 곱한 만큼 내 돈이 늘어나 있다. ( google에 1.01^10=? 이라고 검색해 보시라.)
3) 2020년 우리는 코로나 대유행 사태를 겪고 있다. 전염된 사람이 1.5 명을 전염시키는 정도의 방역 수준이라면 3차 감염 상태에서 1.5^3 = 3.38 규모의 감염자가 추가된다. 100명의 확진자가 격리되지 않아 3차 감염까지 발생시켰다면 338명의 추가 감염되어 있을 수 있다.
4) 지수에 음수를 넣을 수도 있다. 베이스(밑)를 역수로 하고 곱하라는 뜻이다. 2^(-n) 은 (1/2)^n 이다. 물리적으로 이해하기 좋은 비유는 반으로 나누는 것을 n번 하라는 것이다.
물리적으로 감쇄하는 시스템에 많이 등장한다. ( 도선 감쇄, 마찰 저항에 의한 속도 저하,...)
- 많은 예를 들면서 설명했는데 어떤 공통점을 눈치 챘는지? 그것은 바로 변화하는 것을 표현하기에 지수함수가 적합하다는 것이다.
자연상수와 지수함수의 특징을 이해하기 쉽게 하려고 최대한 풀어서 적어 보았다. 곰곰하게 따라왔다면 서양 수학 수백년 역사를 압축해서 이해한 것이다. 내노라 하는 수학자와 물리학자들이 로그함수 (지수함수의 역함수)로 시작해서 자연상수를 지나서 미적분까지 연결하였다.
과정을 완벽히 이해하지 못하였더라도 결론을 추리고 써먹을 수 있다. 수학이라는 것이 그런 점에서 좋다. ( 사실 수학이라기 보다는 공학에 가깝지만... 이전 글에서 상식에 익숙해 지는 것이라고 할까... )
여기에 결론이 있다.
지수함수 e^x 는 함수의 변화율이 함수 값과 같은 함수 이다. 시작점은 x=0 일 때 1 이다.
시작점 : e^0=1 ( 밑이 e 인 지수함수의 시작점 증가률 =1, 자연상수 e의 정의 )
다음 특성을 가진다. (곱하기 세상을 더하기 세상으로 바꿀 수 있다.)
e^(a+b)=e^a * e^b : 지수의 덧셈은 지수함수의 곱셈
풀어 쓰자면 지수가 정수일 때는 거듭제곱하면 되고 지수가 실수일 때는 조금씩 가면서 양이 늘어난만큼을 더하면서 원하는 값까지 늘려나가면 된다.
시간이 흐르고 양이 변화 특성을 결정짓는 물리현상에 지수함수는 너무나 자연스러운 함수이다. 폭발적인 성장, 에너지의 손실 등을 수학모델 하는데 항상 나타난다. 양(量)이 양의 변화특성을 결정짓는다는 것은 매우 중요한 특징인데 자연계를 다룰 때 많이 나타나게 된다. *5
수학의 아름다운 점은 이렇게 복잡한 사고를 하나의 수식, 하나의 정의로 깔끔하게 결론내고 그 다음에는 믿고 사용하면 된다는 것이다. 마치 복잡한 코딩을 하고 데이터를 구조화 해서 모아 놓으면 그 다음에는 직관적으로 동작하는 컴퓨터 프로그램처럼 말이다. 수학을 이해하는 것은 코딩을 배우는 것과 비슷하다. 문법과 함수를 이해하면 복잡한 사고를 직관적으로 해치울 수 있다.
이제 여태껏 지나 온 길을 뒤돌아보자.
(1) "숫자"라는 달을 가리키는 손가락을 알았다.
(2) "더하기"와 "곱하기" 연산을 눈금직선의 "이동"과 "확대"에 비유했다.
(3) 변화량이 크기에 비례하는 지수함수를 알게 되었다.
처음 목적을 기억해 보자. 복소수라는 것이 있어서 그것을 이 지수함수의 지수에 넣는 것을 직관적으로 이해하고 싶다는 것이다.
이제 마음속의 숫자 세상을 1차원에서 2차원으로 확장 할 때이다. 1차원에서 직선을 만났다면 2차원에서는 무엇을 만나게 될까?
(각주)
* ( 처음에 2가 있는 것을 1번 한 것으로 치면 9번째가 10번째가 된다.)
** ( 24 우수리는 떼고 생각하자. 1에서 시작해서 두 배씩 10번 하면 1000, 혹은 1 k )
*** 밑이 2 인 것이 1, 2, 4, ... 이다. ( 2^n, n=1,2,3... ) 구글 그래프를 쓰면 2^x
밑이 3인 것을 같이 그려보자. 2^x, 3^x, 3^10은 자그마치 60,000 이나 된다.
**** 1*x, 2*x 를 구글그래프로 그려보자. 직선이 나온다. 각각의 기울기가 1, 2 이다.
*5 지수함수의 예
1) 지수함수의 특징은 늘어나는 정도가 지수가 커질 수록 커진다는 것이다. 정의 자체가 밑을 곱하는 횟수니까 그렇다. 매일 두개로 분열하는 세포가 있다면 10일 후에는 1개가 1024개로 분열된다. 그 다음날에는 하루에 1000개가 더 생기게 된다. ( 10일에는 하루에 1000개 증가) 그러면 20일 후에는 하루에 몇개가 더 생길까? ( 답은 백만개 ) 그런 의미에서 지수함수를 성장함수라고 부르기도 한다.
2) 지수함수를 소개할 때 복리 문제를 많이 이야기 하기도 한다. 1년에 1% 이자를 주는 상황이라면 내가 맡겨 놓은 돈이 매년 1.01배로 불어나는 것이다. 10년이 지나면 내 돈에 1.01을 10번 곱한 만큼 내 돈이 늘어나 있다. ( google에 1.01^10=? 이라고 검색해 보시라.)
3) 2020년 우리는 코로나 대유행 사태를 겪고 있다. 전염된 사람이 1.5 명을 전염시키는 정도의 방역 수준이라면 3차 감염 상태에서 1.5^3 = 3.38 규모의 감염자가 추가된다. 100명의 확진자가 격리되지 않아 3차 감염까지 발생시켰다면 338명의 추가 감염되어 있을 수 있다.
4) 지수에 음수를 넣을 수도 있다. 베이스(밑)를 역수로 하고 곱하라는 뜻이다. 2^(-n) 은 (1/2)^n 이다. 물리적으로 이해하기 좋은 비유는 반으로 나누는 것을 n번 하라는 것이다.
물리적으로 감쇄하는 시스템에 많이 등장한다. ( 도선 감쇄, 마찰 저항에 의한 속도 저하,...)
- 많은 예를 들면서 설명했는데 어떤 공통점을 눈치 챘는지? 그것은 바로 변화하는 것을 표현하기에 지수함수가 적합하다는 것이다.
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