운동에너지 보존법칙으로 증명하는 피타고라스 정리

피타고라스 정리는 그리스 시대에 발견되었다. 직각을 정확히 그릴 수 있게 하는 훌륭한 도구이다. 기하학적으로 증명하는 무수한 방법이 있다. 이번 글에서는 에너지 보존법칙으로 살펴본다.

속력 v를 가진 질량 m 인 물체의 운동에너지는 1/2*m*v^2 이다.
이는 뉴튼의 운동방정식을 적분하면 얻을 수 있다.
등가속으로 v 까지 가속된 물체는 속도 0에 비해서 이 운동에너지를 가지게 된다. (그만큼 힘이 일을 한 것이 운동에너지로 바뀌었다고 생각하고 적분함.)

관성계에서 이 문제를 살펴보자. 등속도로 움직이는 좌표계에서 속력이 달라지므로 운동에너지는 달라지게 된다. 즉 운동에너지는 절대적인 값이 아니고 좌표계 안에서 측정되는 속력에 의해 결정되는 값이다.

우선 예를 들어 계산해 보자.

처음 관성계에서 속도 0인 것과 속도 5인 질량이 같은 물체 2개가 있다.
속도 5인 물체와 같이 움직이는 관성계에서 보면 속도 -5, 속도 0인 물체로 보인다.
두 물체의 운동에너지의 합은 어느 관성계에서 계산하더라도 같은 값이어야 한다. (에너지 보존법칙)
    관성계1 운동에너지 합: 0+1/2*m*(+5)^2
    관성계2 운동에너지 합: 1/2*m*(-5)^2+0   (사칙연산에서 (-1)^2 = 1 이므로 둘은 같다.)

이제 관성계3을 속도 5인 물체에 비스듬한 방향으로 그 방향의 속도 성분으로 움직인다고 생각해보자. 속도 5인 물체의 속도 성분이 3이 되는 방향으로 속도 3으로 움직이는 경우에 두 물체의 운동에너지 합을 따져보자. 관성계3에서 보이는 물체의 운동에너지는 관성계1에서 정지되었던 물체의 속도-3에 대한 운동에너지 더하기 5로 움직이던 물체의 관성계3에서의 수직성분 속도(v)에 의한 운동에너지 일 것이다. ( 관성계3을 수직성분만 보이도록 정하였으므로 )
    관성계1 운동에너지 합 : 1/2*m*(+5)^2
    관성계3 운동에너지 합 : 1/2*m*(-3)^2 + 1/2*m*(v)^2

두 관성계에서 각각 물체의 운동에너지의 합이 보존된다면 위 2개의 식을 등호로 놓고 사칙연산으로 풀 수 있다. 풀어보면 v=4가 된다. ( 5^2-3^2 = 16 = 4^2 )

이제 앞의 예를 일반화 해보자.
1. 속도를 임의로 두 수직인 성분으로 나눈다. (직각 삼각형을 이루는 벡터합을 만든다.)
2. 직각삼각형의 빗변 속도는 수평성분, 수직성분으로 나뉘어 진다.
3. 수평성분이 0이 되게 움직이는 관성계에서는 수직성분 속도만 보인다.
4. 관성계를 바꾸었으므로 더해지는 운동에너지가 있다. 이는 수평속도에 의한 운동에너지다. 굳이 따지고 싶으면 원래 관성계에서 같은 질량으로 정지해 있던 물체의 운동에너지를 생각하면 된다. ( (-1)*(-1) = 1 )
5.  "두 관성계에서 운동에너지가 같음"으로 어떤 각도로 속도를 나누어도 직각이기만 하다면 각각의 속도 성분 제곱의 합은 동일하다.

이제 결론이다.

물리법칙인 운동에너지 보존 법칙을 써서 다음을 보였다. 속도를 직각인 임의의 두 성분으로 나누어도 각각의 제곱의 합은 일정하다. 이 값은 나눈 대상인 원래 속도의 제곱값이다. 이것은 피타고라스의 정리와 동일하다. ( 직각삼각형에서 세변의 길이 제곱의 관계 )
( Q.E.D, 증명 끝 )

피타고라스의 정리로 직교좌표계를 써서 운동량을 각 성분으로 나누는 것이 가능하고
꺼꾸로, 좌표계에 상관없이 운동에너지가 보존된다는 물리법칙에 근거해서 피타고라스 정리를 증명할 수 있다.