직관적으로 이해하는 지수함수(2) - 단위와 지도앱, 곱하기는 직선을 늘이고 줄이는 것

지난 번에 "실수체계"를 [방향을 가진 눈금자]에 비유하였다.
눈금자는 같은 간격으로 나눌 수 있다. 어딘가에 원점을 정할 수 있다.
원점에서 1, 2, 3, ... 같이 같은 간격에 숫자를 적어 넣을 수 있다.

이제 곱하기를 생각해 보자.
2가 쓰여져 있는 위치는 1이 쓰여져 있는 위치까지 거리의 2배이다.
왜냐고? 그렇게 눈금을 나누었으니까. (같은 간격)
그러면 100이 쓰여 있는 위치의 원점으로부터의 거리는 1이 쓰여져 있는 위치의 거리의 몇 배일까? 100배. 곱하기의 느낌이 오는가? 단위 길이에 눈금에 적혀있는 수치를 곱하면 눈금까지의 길이가 된다. ( 거리, 길이는 우리가 직관적으로 느끼는 물리양이다. )

이제 1이라는 숫자를 2의 위치에 적어보자 그러면 2는 어디에 적힐까?
앞에서 눈금을 이용해서 거리, 길이를 계산했다면 이제는 숫자를 바꾸어 적는 것이다.
추상적으로 말하자면 마음 속 눈금 직선을 늘리고 줄이는 것이다.
1위치에 2라고 적히는 눈금직선은 절반으로 압축한 것이고
10에 1이라고 적히는 눈금직선은 10배로 잡아 늘린 것이다.
(구글맵 wheel-in, wheel-out 혹은 zoom-in, zoom-out)

1.5배, 60%, 2의 제곱근, 모든 숫자를 등분한 직선 위에 점으로 표현할 수 있다.
유리수, 무리수, 혹은 생각할 수 있는 모든 숫자를 이 선위에 점찍을 수 있다. (수학에서는 실수라고 한다.)
여기 나오는 기호나 어려운 수학 분류 이름을 잘 몰라도 상관없다. 숫자를 직선위의 점으로 나타낸다는 것만 알면 된다. 숫자를 찍는 약속을 기억하면 된다. 숫자의 크기만큼 1의 길이에 곱한 길이만큼 떨어진 위치에 점을 찍는다.

그러면 -1 배 한다는 것은 어떻게 약속할까? 반대방향으로 생각하는 것이 자연스럽다.
우리가 마음속에 그리고 있는 직선에 양의 방향을 정해 놓았으므로 반대 방향을 음의 방향으로 생각하면 된다. (빈 종이에 직선을 그린다. 오른쪽에 화살표를 그려 넣고 + 기호를, 왼편에 - 기호를 써 넣는다.)

지난 번 글에서 점이 움직이는 것으로 더하기 빼기를 해 보았다. 3칸 오른쪽으로 갔다가 왼쪽으로 2칸 갔다가 다시 1칸 오른쪽으로 갔다. 이 세번의 과정을 하고나면 2칸 오른쪽으로 간 것과 갔다. 혹은 눈금자를 내가 있는 곳에 위치시키고 왼쪽으로 3칸 보내고 오른쪽으로 2칸 보내고 다시 왼쪽으로 1칸 보낸 후에 내가 있는 곳의 눈금을 읽으면 2가 된다.

이것을 곱하기로 바꾸어 보면 1칸을 쪼개서 2 작은 칸으로 만들면 내가 있는 곳은 6 작은 칸이다. 왼쪽으로 4작은칸(2칸) 갔다가 오른쪽으로 2작은칸(1칸) 가면 내가 있는 곳은 4작은칸이다. 혹은 눈금자(2배 촘촘히 눈금이 매겨져 있는)를 6눈금 - 4눈금 + 2눈금 움직 움직하면 내위치에 4눈금이 와있게 된다.

말로하면 이렇게 복잡하다. 더구나 숫자가 커지거나 읽기 어려운 기호가 들어가 있거나 하면 머리가 아파진다. 그러니 더하기 빼기를 하면 결과를 그냥 얻을 수 있다. 사실 지도앱에서 마우스를 이용해 이동하거나 확대 축소하는 작업을 하면 컴퓨터는 숫자로 바꾸어 열심히 더하기 빼기를 하고 있는 것이다. 컴퓨터 코딩한다는 것은 이런 숫자를 다루고 입출력을 거기에 맞추도록 하는 작업을 지시하는 것이다.

무슨 말을 하고자 하는 것이냐 하면 곱하기를 자의 눈금을 정하는 약속으로도 생각할 수 있다는 것이다. 드디어 단위를 가지고 추상 실선이 숫자를 벗어나 내가 보고 느끼는 자연 세계를 가리키게 되었다. 앞개울과 뒷동산을 오가는 철수는 눈금(단위)을 자기의 걸음폭으로 하는 것이 쉬울 것이다. 먼 거리를 생각한다면 km 단위를 1로 하면 될 것이다. 종이 위에 그림을 그리는 사람은 1 cm를 단위로 하면 편할 것이다. 혹시 태양계에 대해서 사고하는 사람이 있다면 지구-태양 거리를 기준단위 (AU : 백만km의 약 150배)로 하여 혼자 상상하거나 다른 천문학자와 이야기를 나눌 것이다.

이제 거리(길이)라는 물리량을 추상세계에서 단위를 가진 실선으로 상상할 수 있게 되었다.
여기서 더하기 빼기, 곱하기, 나누기를 하면 길이 혹은 거리를 다룰 수 있게 되었다.

여기서 다음의 자연스러운 물음이 생겨난다. 직선이 아닌 경우는 어떨까? 실제 세상은 3차원 공간이다. 내가 평면 위에 곡선을 그리고 길이를 등분하는 눈금을 적어 놓은 후 실수를 대입해도 위의 특성을 표현할 수 있다. 모든 실수는 곡선위의 점으로 표현된다. 점의 위치는 단위길이에 실수 값을 곱한 길이만큼 떨어져 있다. 기차 비유를 들어보자. 기차는 기찻길로만 다닐 수 있다는 제약이 있다. 통일된 한반도에서 철수가 기차를 타고 서울에서 평양까지 간다면 직선거리는 195 km 이지만  기찻길을 따라 250 km 를 구불구불 이동하여야 한다. 기차상에서 문산역, 개성역, 평강역, 사리원역, 평양역은 각 철도 길이만큼 서울역에서 떨어져 있을 것이다. (문산 10 km, 개성 50 km, ... )

하지만 직선으로 만들고 눈금을 같은 간격으로 나누는 것이 일반적으로 위치를 표현하기에 더 편리하다. 기차를 타고 가는 사람에게만 휘어져 있는 실선이 편리하다. 일반적으로 편리한 것이 훨씬 쓸모가 많다. 쓸모가 많은 것이 기초가 되고 자연스러워 지고, 점점 많은 사람에게 익숙해지면서 공통의 언어가 된다. 상식이 되는 것이다. 그래서 우리는 그 상식을 학교에서 열심히 배운다. 달을 가리키는 손가락에 대해서 외우고 시험치고 그러는 거다. 그렇게 해서 상식에 편안해져서 다른 사람과 쉽게 같은 달을 이야기 할 수 있고, 세상의 정보를 이용해서 현명하게 같이 살아가려고...

이번 글을 정리하자면 "추상공간의 등간격 눈금직선으로 실수를 표현하였다." 이것을 움직이고 수축, 팽창 시키는 것이 더하기 곱하기 하는 사칙연산을 시각화하는 방법이 되는 것을 알았다. 여기서 눈금을 "직선에 같은 간격"으로 매겼다는 것이 더하기에 대해서 적절한(편리한) 약속이라는 것이 중요하다. 곰곰히 생각해 보기 바란다. (곱하기는? 곱하기는 여러 번 더한다는 의미)

이것이 머릿속에서 소화되었다면 다음 단계로 넘어갈 준비가 되었다. 드디어 지수함수를 이야기 할 때가 되었다. 곱하는 것이 여러 번 더하는 것이라면 여러 번 곱하는 것은 무엇이라고 부를까? 여기서 외워야 할 것이 나온다. 밑을 여러 번 곱하는 것을 지수승 한다라고 한다. 이번 글타래의 맨 처음에 나왔던 것이다.

이 말이 익숙해 지는 것과 지수에 여러가지 실수를 넣는 것의 의미를 깨치는 것은 큰 차이가 있다. (지수영역을 실수체계로 확장) 다시 말하지만 이 글의 목적은 지수에 복소수를 넣는 것의 의미를 아는 것이다. 마음 속의 눈금 직선을 가지고 실수를 포함하는 지수함수를 다루어 보자.